高中数学集合论文

集合思想在高中数学中的应用集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。集合论的创始人是徳国数学家康托尔（G.Cantor，1845-1918）。他的集合思想的主要特征包括概括原则、外延原则、一一对应原则和实无穷思想。其概括原则用于造集，外延原则保证了集合的确定性，一一对应原则引出了基数概念，揭示了无穷集的本质特征。三个原则的采用，使数学中引入了实无穷思想。数学教师在教学中还可以运用集合思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。人教B版教材中更是注重了集合思想,下面谈谈教材在集合思想的突出应用：应用一：中学数学中常见的集合有（1）数集；（2）方程（或方程组的）解集；（3）不等式（或不等式组）的解集；（4）点集。只有深刻理解集合概念，明确集合中元素的属性，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫,才能读懂用集合语言描述的数学命题，并顺利地用集合语言解答方程或不等式问题。例1：集合M={y∣y=x2-1,x∈R},N={x∣y=},则M∩N等于（）分析：集合M中的元素是y,它表示函数y=x2-1的值域，从而M={y∣y≥-1}.集合N中的元素是x,它表示函数y=的定义域，从而N={x∣}.因此，M∩N={x∣}例2：设f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,A={x∣f(x)=x}={a},求a,b.分析：A是方程f(x)=x的解集，A={a}表示方程有两个相等的实根a。方程即为x2+(a-1)x+b=0，又a是方程的解，由韦达定理可求a=,b=更为重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质P的实数对组成的集合建立起一一对应的关系，进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题，能够对代数命题给出几何解释，还能够通过几何图形来解决代数问题。僻如新教材中球、椭圆、双曲线、抛物线等概念都是用集合定义的，形象又直观，便于学生理解。例3：集合A={(x,y)∣y=x+m},B={(x,y)∣y=},如果A∩B是单元素集，求m的取值范围。分析：集合A表示的是斜率为1的一组平行直线，集合B表示的方程变形为x2-y2=4(y≤0)，表示双曲线x2-y2=4在x轴下方的部分（包括两个交点），而A∩B是单元素集，则说明直线与半双曲线有一个公共点。如图：将双曲线的一条渐近线y=x分别向上、向下平移，可得m的取值范围是m≤-2或0m≤2。集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。应用二：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。如：{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}{棱柱}；数列与函数两概念；互斥事件与对立事件两概念等。例４：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：A.0B.1C.2D.3分析：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选A。例５：数列{an}是等差数列，a1=50,d=-0.6，求此数列的前n项和的最大值。分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集{1、2、3、4、……n}），因此可把数列作为特殊函数理解。思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性。由a1=50,d=-0.6,得an=-0.6n+50.6,令an≤0,有n≥84.3。又n,则n≥85,即从第85项起以后各项均小于0。所以(Sn)max=S84=2108.4思路2：等差数列的前ｎ项和Sn是关于n的二次函数,可用二次函数的方法处理。Sn=50n+,当n取接近于的自然数，即n=4时，Sn达到最大值S84=2108.4例６：若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P在圆内的概率。（人教B版必修3，118页第3题）分析：记点P在圆内为事件A，则A是基本事件空间的子集。基本事件总数是,A包含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8个，.应用三：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。例７：求函数y=的定义域。（人教B版必修1，86页第4题）分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。由得所以函数的定义域是（）。例８：已知函数y=在[-1,+∞]上是减函数，求a的取值范围.分析：本题含着两层意思：3x2-ax+50在[-1,+∞]上恒成立，t=3x2-ax+5在[-1,+∞]上是增函数，实数a的范围是两者的交集。由题意得：，且满足x=-1时3x2-ax+50,综上得-8。而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。例９：掷3枚硬币，至少出现一个正面向上的概率是（人教B版必修3，131页第2（3）题）分析：“至少出现一个正面向上”的事件含有１个向上，２个向上，３个向上３类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”的概率。Ｐ＝１－＝。例１０：如果一元二次方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根，确定这个结论成立的充要条件。（人教B版选修2—1，31页第6题）分析：“方程至少有一个负的实数根”有一个负根，两个负根两类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方程没有负的实数根”。由有，。又a无解。因此，。布鲁纳说过，掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。本部分内容含有丰富的数学思想，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。在教学过程中，注意这些数学思想的挖掘、提炼和渗透，不仅可以帮助学生掌握知识的本质，驾驭问题的求解，而且对于开发学生的智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果，都具有十分重要的意义。在高中数学中对集合语言的认识数学语言与与日常语言不同“日常语言是习俗的产物,也是社会和政治运动的产物,而数学语言是慎重地、有意义地而且经常是精心设计的.凭借数学语言的严密性和简洁性,数学家们就可以表达和研究数学思想,这些思想如果用普通语言表达出来,就会显得冗长不堪.”例如表示过坐标原点平分第一象限角的直线是纵坐标横坐标相等点的集合.在高中阶段,学生正处在形成连贯逻辑思维的时期,培养学生清晰而有条理地表达自己的数学思想,倾听别人的意见,养成分析习惯极为重要.他们应该学会正确使用数学符号和数学语言,他们应善于与他人进行合作.集合教学提供了这样的机会.我想这就是集合的教育价值。集合是高中数学教材中学生接触到的第一个概念，集合语言是一种基本的数学语言，学生若能掌握好这章内容不仅能为今后的数学学习打下一个良好的基础而且可以增进学习数学的信心。集合在高中课程中的定位是这样的，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁准确的表达数学中的一些内容。这里强调的数学中的一些内容，而不是全部内容。我们任何一种语言，只有利于表达某些东西。那么高中数学只将集合作为一种语言来学习，它把集合是作为一种语言，来描述和表达问题的一种语言来学习的。学生学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用语言进行交流的能力。我认为在教学时应以这一整体要求来把握集合的教学。集合作为一个数学的概念，对于数学中的分类思想，起了一个促进的作用。集合主要是要把各种不同的事物能刻划清楚。为了搞清楚集合在整个课程中的一个定位，我们应该搞清楚课程中的一个基本脉络。应该考虑与集合有联系的已学的内容各将要学习的内容。集合是高中数学中重要的数学语言.它贯穿于整个高中数学学习.例如：在数系中用来表示自然数集、有理数集、实数集、复数集.几何图形是点的集合，函数是数的集合间的映射，概率统计要涉及随机试验下可能出现结果的集合……在数学各部分内容的讨论中随处可见。关于集合等内容的符号表示法，是整个高中数学各部分内容都要使用的基本数学符号语言。高中数学教学对学生使用数学语言的要求比初中数学教学有明显的提高，即要求表达问题时语言更准确、更简练、更规范。符号化是数学语言的一个显著特征，随着教学内容的不断扩充和抽象性的加强，高中数学中要使用更多的符号和术语。集合语言的学习和其他语言的学习一样，需要一个过程。例如，函数概念可以用描述性语言直观表征（初中阶段），也可以用集合与对应的语言抽象表征（高中阶段），还可以用更抽象的关系语言来表征（大学阶段）。这是与学生心理发展水平相适应的，因为“学习从属于发展”。同时，数学概念可以在不同层次上得到表征，这也为螺旋上升地安排学习内容提供了可能。作为一门语言，首先要掌握这种语言的表述方式和规则，其次要利用这门语言来表述数学问题。这些内容的掌握是需要一个过程的。一方面，我们可以利用集合语言复习、梳理已有的知识，用学生已有的知识作为学习集合的载体，比如：用集合表述自然数、整数、一元一次不等式的解、方程和方程组的解等；另一方面，随着学习内容的不同，我们可以利用这些内容作为巩固集合语言的载体，比如：可以从集合与元素的关系角度分析图像和图像上点的关系；通过不等式的学习，深化学生对一维点集的认识；借助线性规划问题，深入体会用集合刻画平面点集的简洁明了的特点；在概率教学中，用集合的观点帮助学生理解基本事件和样本空间、用集合的观点把握事件之间的关系(互斥事件、独立事件)等等。教学中可以运用集合思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。下面结合实例对与“集合”有联系的学习内容做具体说明：必修１：函数定义域、单调区间、图形、应用中描述等；以函数的定义域为例：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来进行求解。人教B版必修1，86页第4题：求函数的定义域。分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。由得，所以函数的定义域是必修２：空间某些几何体的集合关系；点Ａ∈直线ｌ；直线ｌ包含于平面α等；平面点集的表示；直线、圆及部分点集等；以立体几何初步为例，用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。如：{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}{棱柱}；例：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：A.0B.1C.2D.3分析：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选A。再如用集合语言描述直线和平面位置关系.（