高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解

高考总复习含详解答案高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f(x)＝cos2(x＋π4)－sin2(x＋π4)，x∈R，则函数f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数[答案]A[解析]f(x)＝cos(2x＋π2)＝－sin2x为奇函数，周期T＝2π2＝π.(理)(2010·辽宁锦州)函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T＝()A．2πB．πC.π2D.π3[答案]B[解析]y＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x2＋12sin2x＝12＋22sin2x－π4，∴最小正周期T＝π.2．(2010·重庆一中)设向量a＝(cosα，22)的模为32，则cos2α＝()A．－14B．－12C.12D.32[答案]B[解析]∵|a|2＝cos2α＋222＝cos2α＋12＝34，∴cos2α＝14，∴cos2α＝2cos2α－1＝－12.3．已知tanα2＝3，则cosα＝()A.45B．－45C.415D．－35[答案]B[解析]cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2高考总复习含详解答案＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形[答案]B[解析]∵sinAsinB＝cos2C2，∴12[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12(1＋cosC)，∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，∴cos(A－B)＝1，∵－πA－Bπ，∴A－B＝0，∴△ABC为等腰三角形．5．(2010·绵阳市诊断)函数f(x)＝2sin(x－π2)＋|cosx|的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π[答案]C[解析]f(x)＝－2cosx＋|cosx|＝－cosxcosx≥0－3cosxcosx0，画出图象可知周期为2π.6．(2010·揭阳市模考)若sinx＋cosx＝13，x∈(0，π)，则sinx－cosx的值为()A．±173B．－173C.13D.173[答案]D[解析]由sinx＋cosx＝13两边平方得，1＋2sinxcosx＝19，∴sin2x＝－890，∴x∈π2，π，∴(sinx－cosx)2＝1－sin2x＝179且sinxcosx，∴sinx－cosx＝173，故选D.7．(文)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是()高考总复习含详解答案A．x≤yB．x＜yC．x≥yD．x＞y[答案]D[解析]∵πA＋B＞π2，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选D.(理)(2010·皖南八校)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos(2B＋C)＋2sinAsinB0，那么a、b、c满足的关系是()A．2abc2B．a2＋b2c2C．2bca2D．b2＋c2a2[答案]B[解析]∵cos(2B＋C)＋2sinAsinB0，且A＋B＋C＝π，∴cos(π－A＋B)＋2sinA·sinB0，∴cos(π－A)cosB－sin(π－A)sinB＋2sinAsinB0，∴－cosAcosB＋sinAsinB0，即cos(A＋B)0，∴0A＋Bπ2，∴Cπ2，由余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c22ab0，∴a2＋b2－c20，故应选B.8．(2010·吉林省调研)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象()A．向左平移π2个单位长度B．向左平移π4个单位长度C．向右平移π2个单位长度D．向右平移π4个单位长度[答案]D[解析]y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos2x，将f(x)＝a·b＝2sinxcosx＝sin2x，向右平移π4个单位得，sin2x－π4＝sin2x－π2＝－sinπ2－2x＝－cos2x，故选D.9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈π4，π，高考总复习含详解答案若a·b＝25，则tanα＋π4的值为()A.13B.27C.17D.23[答案]C[解析]a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝25，∴sinα＝35，∵π4απ，∴cosα＝－45，∴tanα＝－34，∴tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝17.10．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sinα＋1－sinα等于()A．－2cosα2B．2cosα2C．－2sinα2D．2sinα2[答案]C[解析]∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sinα＋1－sinα＝1＋2sinα2cosα2＋1－2sinα2cosα2＝sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－(sinα2＋cosα2)－(sinα2－cosα2)＝－2sinα2.二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sinπ2＋θ＝35，则cos2θ＝________.[答案]－725[解析]∵sinπ2＋θ＝35，∴cosθ＝35，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－725.12．(2010·江苏无锡市调研)函数y＝tanx－tan3x1＋2tan2x＋tan4x的最大值与最小值的积是高考总复习含详解答案________．[答案]－116[解析]y＝tanx－tan3x1＋2tan2x＋tan4x＝tanx1－tan2x1＋tan2x2＝tanx1＋tan2x·1－tan2x1＋tan2x＝sinxcosxcos2x＋sin2x＋cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝12sin2x·cos2x＝14sin4x，所以最大与最小值的积为－116.13．(2010·浙江杭州质检)函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．[答案]1[解析]y＝sinxcos10°＋cosxsin10°＋cosxcos40°－sinxsin40°＝(cos10°－sin40°)sinx＋(sin10°＋cos40°)cosx，其最大值为cos10°－sin40°2＋sin10°＋cos40°2＝2＋2sin10°cos40°－cos10°sin40°＝2＋2sin－30°＝1.14．(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2θ2＝________.[答案]13[解析]设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝3r2，∴OD＝r2，∴CD＝32r，∴tanθ＝CDOD＝3，∵tanθ＝2tanθ21－tan2θ2，∴tanθ2＝33(负值舍去)，∴tan2θ2＝13.(理)3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.高考总复习含详解答案[答案]－43[解析]3tan12°－34cos212°－2sin12°＝3sin12°－3cos12°2cos24°sin12°cos12°＝23sin12°－60°12sin48°＝－43.三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析](1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝23时，f(x)取最小值－73.(理)(2010·广东罗湖区调研)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的最大值及最小值．[解析](1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝222cos2x＋22sin2x＝2sin2x＋π4.∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)∵0≤x≤π2，∴π4≤2x＋π4≤5π4，∴当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，f(x)有最大值2；当2x＋π4＝5π4，即x＝π2时，f(x)有最小值－1.16．(文)设函数f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x.高考总复习含详解答案(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sinA的值．[解析](1)f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12－32sin2x，所以函数f(x)的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f(C2)＝12－32sinC＝－14，所以sinC＝32，因为C为锐角，所以C＝π3，在△ABC中，cosB＝13，所以sinB＝223，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝223×12＋13×32＝22＋36.(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，OM→＝(sinB＋cosB，cosC)，ON→＝(sinC，sinB－cosB)，OM→·ON→＝－15.(1)求tan2A的值；(2)求2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4的值．[解析](1)∵OM→·ON→＝(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－15，∴sinA＋cosA＝－15①两边平方并整理得：2sinAcosA＝－2425，∵－24250，∴A∈π2，π，∴sinA－cosA＝1－2sinAcosA＝75②联立①②得：sinA＝35，cosA＝－45，∴tanA＝－34，高考总复习含详解答案∴tan2A＝2tanA1－tan2A＝－321－916＝－247.(2)∵tanA＝－34，∴2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4＝cosA－3sinAcosA＋sinA＝1－3tanA1＋tanA＝1－3×－341＋－34＝13.17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f(x)＝sin2ax－3sinaxcosax(a0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈0，π2，求点A的坐标．[解析](1)f(x)＝sin2ax－3sinaxcosax＝1－cos2ax2－32sin2ax＝－sin2ax＋π6＋12，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－12或m＝32，由题设知，函数f(x)的周期为π2，∴a＝2，所以m＝－12或m＝32，a＝2.(2)∵f(x)＝－sin4x＋π6＋12，∴令sin4x＋π6＝0，得4x＋π6＝kπ(k∈Z)，∴x＝kπ4－π24(k∈Z)，由0≤kπ