高中文科数学集合

第一讲、集合一、集合（一）集合的含义与表示1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。（二）集合间的基本关系1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。2.在具体情境中，了解全集与空集的含义。（三）集合的基本运算1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。3.能使用韦恩（Venn）图表示集合的关系及运算。集合的定义：具有某一性质p的对象的全体1.集合中的任一元素都具有性质p2.任一具有性质p的元素都在集合内集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性集合的表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图集合的分类：有限集、无限集新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆常见（用）数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等=运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};补运算ACU＝{x|xA且x∈U}，U为全集性质：1.AA；2.φA；3.若AB，BC，则AC；4．A∩A＝A∪A＝A；5.A∩φ＝φ；A∪φ＝A；6.A∩B＝AA∪B＝BAB；7.A∩CUA＝φ；A∪CUA＝I；CU(CUA)＝A；8.CU(AB)＝(CUA)∩(CUB)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆集合的含义与表示例1.用符号和填空。⑴设集合A是正整数的集合，则0_______A，2________A，01______A；⑵设集合B是小于11的所有实数的集合，则23______B，1+2______B；例2.判断下列说法是否正确，并说明理由。⑴某个单位里的年轻人组成一个集合；⑵1，23，46，21，21这些数组成的集合有五个元素；⑶由a，b，c组成的集合与b，a，c组成的集合是同一个集合。例3.用列举法表示下列集合：⑴小于10的所有自然数组成的集合A；⑵方程x2=x的所有实根组成的集合B；⑶由1～20中的所有质数组成的集合C。例4.用列举法和描述法表示方程组11yxyx的解集。典型例题精析题型一集合中元素的确定性例1.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（）A.2B.3C.4D.5题型二集合中元素的互异性与无序性例2.已知x2{1，0，x}，求实数x的值。题型三元素与集合的关系问题1.判断某个元素是否在集合内例3．设集合A={x∣x=2k,kZ}，B={x∣x=2k+1,kZ}。若aA，bB，试判断a+b与A，B的关系。2.求集合中的元素例4.数集A满足条件，若aA，则aa11A，（a≠1），若31A，求集合中的其他元素。3.利用元素个数求参数取值问题例5.已知集合A={x∣ax2+2x+1=0,aR}，⑴若A中只有一个元素，求a的取值。⑵若A中至多有一个元素，求a的取值范围。题型四列举法表示集合例6.用列举法表示下列集合⑴A={x∣x≤2，xZ}；⑵B={x∣21x2x=0}⑶M={yx,x+y=4，xN*，yN*}.题型五描述法表示集合例7.用描述法表示图（图-8）中阴影部分（含边界）的点的坐标的集合。例8.已知集合A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，若1A，求实数a的值。例9.集合M的元素为自然数，且满足：如果xM，则8-xM，试回答下列问题：⑴写出只有一个元素的集合M；⑵写出元素个数为2的所有集合M；⑶满足题设条件的集合M共有多少个？创新、拓展、实践1、实际应用题例10.一个笔记本的价格是2元，一本教辅书的价格是5元，小明拿9元钱到商店，如果他可以把钱花光，也可以只买一种商品，请你将小明购买商品的所有情况一一列举出来，并用集合表示。2、信息迁移题例11.已知A={1，2，3}，B={2，4}，定义集合A、B间的运算A＊B={x∣xA且xB}，则集合A＊B等于（）A.{1，2，3}B.{2，4}C.{1，3}D.{2}3、开放探究题例12.非空集合G关于运算满足：⑴对任意a、bG，都有abG；⑵存在eG，使得对一切aG，都有ae=ea=a，则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合与运算：①G={非负整数}，为整数的加法。②G={偶数}，为整数的乘法。③G={二次三项式}，为多项式的加法。其中G关于运算为“融洽集”的是__________。（写出所有“融洽集”的序号）例13.已知集合A={0，1，2，3，a}，当xA时，若x-1A，则称x为A的一个“孤立”元素，现已知A中有一个“孤立”元素，是写出符合题意的a值_______(若有多个a值，则只写出其中的一个即可)。集合间的基本关系例1用Venn图表示下列集合之间的关系：A={x∣x是平行四边形}，B={x∣x是菱形}，C={x∣x是矩形}，D={x∣x是正方形}。例2设集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}，且AB，求a的值例3已知集合A={x，xy，x-y}，集合B={0，x，y}，若A=B，求实数x，y的值。例4判断下列关系是否正确：（1）0{0}；（2）{0}；（3）{0}；（4）题型一判断集合间的关系问题例1下列各式中，正确的个数是（）(1){0}{0，1，2}；（2）{0，1，2}{2，1，0}；（3）{0，1，2}；（4）{0}；（5）{0，1}={（0，1）}；（6）0={0}。A.1B.2C.3D.4题型二确定集合的个数问题例2已知{1，2}M{1，2，3，4，5}，则这样的集合M有__________个。题型三利用集合间的关系求字母参数问题例3已知集合A={x︱1＜ax＜2}，B={x∣x＜1},求满足AB的实数a的范围。例4设集合A={x∣x2+4x=0，xR}，B={x∣x2+2(a+1)x+a2-1=0，xR}，若BA，求实数a的值。创新、拓展、实践1.数学与生活例5写出集合{农夫，狼，羊}的所有子集，由此设计一个方案：农夫把狼、羊、菜从河的一岸送到另一岸，农夫每次乘船只能运送一样东西，并且农夫不在场的情况下，狼和羊不能在一起，羊和菜不能在一起。2.开放探究题例6已知集合A={x∣ax=4}，集合B={1，2，b}.（1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有AB？若存在，求出对应的a值，若不存在，说明理由。（2）若AB成立，求出对应的实数对（a，b）空集1.空集的概念及性质例1在（1）{0}；（2）{}；（3）{x∣3m＜x＜m}；（4）{x∣a+2＜x＜a}；（5）{x∣x2+1=0，xR}中表示空集的是__________.2.空集性质的应用例2已知集合A={x∣x＞0，xR}，B={x∣x2-x+p=0}，且BA，求实数p的范围。例3已知A={x∣x2-3x+2=0}，B={x∣ax-2=0}，且BA，求实数a组成的集合C.集合的基本运算例1设集合A={x︱-1＜x＜2}，集合B={x︱1＜x≤3}，求AB.例2A={x︱-1＜x≤4}，B={x︱2＜x≤5}，求AB.例3若A、B、C为三个集合，AB=BC，则一定有（）A.ACB.CAC.A≠CD.A=的解为A，U=R，试求A及CUA，并把它们分别表示例4不等式组在数轴上。题型一基本概念例1设集合A={（x，y）∣a1x+b1y+c1=0}，B={（x，y）∣a2x+b2y+c2=0}，则方程组0,0222111cybxacybxa的解集是__________；方程(a1x+b1y+c1)（a2x+b2y+c2）=0的解集是__________.题型二集合的并集运算例2若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，AB={1，3，x}，则满足条件的实数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个题型三集合的交集运算例3若集合A={x∣x2-ax+a2-19=0}，B={x∣x2-5x+6=0}，C={x∣x2+2x-8=0}，求a的值使得(AB)与AC=同时成立。例4集合A={1，2，3，4}，BA，且1(AB)，但4(AB)，则满足上述条件的集合B的个数是（）A.1B.2C.4D.8题型四集合的补集运算例5设全集U={1，2，x2-2}，A={1，x}，求CUA例6设全集U为R，A={x︱x2-x–2=0}，B={x︱x=y+1，yA}，求CUB题型五集合运算性质的简单应用例7已知集合A={x︱x2+ax+12b=0}和B={x︱x2-ax+b=0}，满足（CUA）B=2，A(CUB)={4}，U=R，求实数a、b的值。例8已知A={x︱x2-px–2=0}，B={x︱x2+qx+r=0}，且AB={-2，1，5}，AB={-2}，求实数p、q、r的值。数学思想方法一、数形结合思想例9（用数轴解题）已知全集U={x︱x≤4}，集合A={x︱-2＜x＜3}，集合B={x︱-3＜x≤3}，求CUA，AB，CU(AB)，(CUA)B例10（用Venn图解题）设全集U和集合A、B、P满足A=CUB，B=CUP，则A与P的关系是（）A.A=CUPB.A=PC.APD.AP二、分类讨论思想例11设集合A={1a，3，5}，集合B={2a+1，a2+2a，a2+2a-1}，当AB={2，3}时，求AB三、“正难则反”策略与“补集”思想例12已知方程x2+ax+1=0，x2+2x-a=0，x2+2ax+2=0，若三个方程至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。四、方程思想例13设集合A={x︱x2+4x=0，xR}，B={x︱x2+2(a+1)x+a2-1=0，xR}，若BA，求实数a的值。创新、拓展、实践例14（实际应用题）在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？例15（开放探究题）定义集合A和B的运算为A﹡B={x︱xA且xB}，试写出含有几何运算符号“﹡”、“”、“”，并对任意集合A和B都成立的一个式子________________________________________________________________________________________例16我们知道，如果集合AU，那么U的子集A的补集为CUA={x︱xU，且xA}，类似地，对于集合A、B，我们把集合{x︱xA，且xB}叫做A与B的差集，记作A-B，例如A={1，2，3，5，8}，B={4，5，6，7，8}，则A-B={1，2，3，}，B–A={4，6，7}。据此，回答以下问题：⑴补集与差集有什么异同点？⑵若U是高一⑴班全体同学的集合，A是高一⑴班全体女同学组成的集合，求U–A及CUA.⑶在图1-1-24所示的各图中，用阴影表示集合A–B⑷如果A–B=，那么A与B之间具有怎样的关系。