高中新课程实验教科书数学选修2-2[人教版A]

1高中新课程实验教科书—数学选修2-2[人教版A]1.1.2导数的概念一、教学目标1知识目标：通过对高台跳水问题的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数概念，知道瞬时变化率就是导数，了解导数的内涵；2能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力；3情感目标：通过对导数概念的学习，使学生感受到数学知识的产生是水到渠成的，数学的发展与人类文明的发展相互促进。教学重点、难点形成导数概念，了解导数的内涵即是本节的重点也是难点。教学方法教师用问题启发、引导学生，通过由特殊到一般得到导数的概念；学生通过积极探究、讨论，逐步理解导数的定义和内涵。教学用具：教师用多媒体投影，学生可用计算器。二、教学过程:（1）引入在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系105.69.42ttth，那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？（2）新课我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t时间段内的平均速度v，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格12表格20t时，在2,2t这段时间内0t时，在t2,2这段时间内1.139.41.139.422222tttttthhv1.139.41.139.422222ttttththv当t0.01时，v13.051；当t0.01时，v13.149；当t0.001时，v13.0951；当t0.001时，v13.1049；当t0.0001时，v13.09951；当t0.0001时，v13.10049；当t0.00001时，v13.099951；当t0.00001时，v13.100049；当t0.000001时，v13.0999951；当t0.000001时，v13.1000049；。。。。。。。。。。。。问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）关于这些数据，下面的判断对吗？2．当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1sm/。3．靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段2,2t上的平均速度；4．靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段t2,2上的平均速度；5．-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1sm/。分析:2t秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1sm/。这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1sm/，现在我们一起回忆一下是如何得到的：首先，算出t2,2上的平均速度thth22=1.139.4t，接着观察当t趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用1.1322lim0ththt表示“当2t，t趋近于0时，平均速度v趋近于确定值-13.1”。思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，3平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t时的瞬时速度是13.1/ms为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1ththt表示“当2t，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。3．函数xfy在0xx处的瞬时变化率如何表示？导数的定义（板书）函数xfy在0xx处的瞬时变化率是xxfxxfxfxx)()(limlim0000，我们称它为函数xfy在0xx处的导数，记作0'xf或0|'xxy，即0'xf=xxfxxfxfxx)()(limlim0000。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为1.132'h或1.13|'2ty。附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；②定义的变化形式：xf'=xxxfxfxyxx)()(lim)(lim0000；xf'=00)()(lim)(lim00xxxfxfxyxxxx；xf'=xxfxxfx)()(lim000；0xxx，当0x时，0xx，所以0000()()()limxfxfxfxxx③求函数xfy在0xx处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。三．典例分析例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2,再求6fxx再求0lim6xfx解：法一（略）；法二：222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx4（2）求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：xxxxxy32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)fxxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f和'(6)f根据导数定义，0(2)()fxfxfxx22(2)7(2)15(27215)3xxxx所以00(2)limlim(3)3xxffxx；同理可得:(6)5f在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3/Ch的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch的速率上升．注：一般地，'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况．17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。由导数的定义，我们知道，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率。实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。四．课堂练习1．质点运动规律为32ts，求质点在3t的瞬时速度为．2．求曲线y=f(x)=x3在1x时的导数．3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五、小结1．导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线；2．导数就是瞬时变化率；53．导数的计算公式：0'xf=xxfxxfxfxx)()(limlim0000。4.求函数xfy在0xx处的导数步骤：“一差；二比；三极限”六、布置作业教科书习题1.1A组1，2，3，4，5。