高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《第三章不等式》模块检测

模块检测(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果a0，b0，那么，下列不等式中正确的是()．A.1a1bB.－abC．a2b2D．|a||b|解析如果a0，b0，那么1a0，1b0，∴1a1b.答案A2．(2012·大连统考(二))△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()．A.14B.34C.24D.23解析由题意，得b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－a×2a2a×2a＝34，故选B.答案B3．等差数列{an}的公差d0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是()．A．an＝2n－2(n∈N*)B．an＝2n＋4(n∈N*)C．an＝－2n＋12(n∈N*)D．an＝－2n＋10(n∈N*)解析由a2·a4＝12，a2＋a4＝8.得a2＝2，a4＝6或a2＝6，a4＝2.∵d0，∴取a2＝6，a4＝2，∴d＝12(a4－a2)＝－2，∴an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝10－2n.答案D4．当x1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]解析∵x1，∴x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3.∴a≤3.答案D5．等差数列{an}满足a42＋a72＋2a4a7＝9，则其前10项之和为()．A．－9B．－15C．15D．±15解析a42＋a72＋2a4a7＝(a4＋a7)2＝9，∴a4＋a7＝±3，∴a1＋a10＝±3，∴S10＝10a1＋a102＝±15.答案D6．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，当△ABC的面积等于32时，sinC＝()．A.32B.12C.33D.34解析由三角形的面积公式，得S＝12AB·BCsinπ3＝32，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosπ3，得AC＝3，再由三角形的面积公式，得S＝12AC·BCsinC＝32，即可得出sinC＝12，选B.答案B7．在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析∵lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，∴lgsinAcosBsinC＝lg2.∴sinA＝2cosBsinC，∵A＋B＋C＝180°，∴sin(B＋C)＝2cosBsinC，∴sin(B－C)＝0.∴B＝C，∴△ABC为等腰三角形．答案A8．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是()．A．1x3B．x1或x3C．1x2D．x1或x2解析设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)0，恒成立⇔g1＝x2－3x＋20g－1＝x2－5x＋60⇔x1或x2x2或x3⇔x1或x3.答案B9．若变量x，y满足2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0.则z＝3x＋2y的最大值是()．A．90B．80C．70D．40解析作出可行域如图所示．由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2、－12，而3x＋2y＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大值为70.答案C10．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()．A.a1＋γ1＋γ5－1万元B.aγ1＋γ51＋γ5－1万元C.aγ1＋γ51＋γ4－1万元D.aγ1＋γ5万元解析设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝aγ1＋γ51＋γ5－1答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)．11．在数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝13Sn(n≥1)，则an＝________.解析an＋1＝13Sn，an＋2＝13Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝13(Sn＋1－Sn)＝13an＋1，∴an＋2＝43an＋1(n≥1)．∵a2＝13S1＝13，∴an＝1，n＝1，13·43n－2，n≥2.答案1，n＝113·43n－2，n≥212．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝csinA，则a＋bc的最大值为________．解析∵a＝csinA，∴sinA＝sinC·sinA.∴sinC＝1.C＝90°.∴A＋B＝90°，∴a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝2sin(A＋45°)≤2.答案213.(2011·安徽“三校”联考)2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析由题，可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理，得ANsin45°＝106sin30°，解得AN＝203米，在Rt△AMN中，MN＝203sin60°＝30米．故旗杆的高度为30米．答案3014．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为________．解析由f(x)0，得32x－k·3x＋20，解得k3x＋23x，而3x＋23x≥22，∴k22.答案(－∞，22)三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知13S3，14S4的等比中项为15S5；13S3，14S4的等差中项为1，求数列{an}的通项公式．解设等差数列{an}的首项a1＝a，公差为d，则Sn＝na＋nn－12d，依题意，有133a＋3×22d×144a＋4×32d＝1255a＋5×42d2，133a＋3×22d＋144a＋4×32d＝1×2.整理得3ad＋5d2＝0，2a＋52d＝2.∴a＝1，d＝0或a＝4，d＝－125.∴an＝1或an＝325－125n，经检验，an＝1和an＝325－125n均合题意．∴所求等差数列的通项公式为an＝1或an＝325－125n.16．(10分)在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，若2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为32，求b.解∵S△ABC＝12acsinB＝12acsin30°＝32，∴ac＝6.∵2b＝a＋c.由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos30°，∴b2＝4b2－12－63，得b2＝4＋23，∴b＝1＋3.17．(10分)(2012·郑州模拟)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则y＝50n－98－[12×n＋nn－12×4]＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为yn＝－2(n＋49n－20)≤－2(2n·49n－20)＝12，当且仅当n＝49n，即n＝7时上式取等号．所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．18．(12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)0的解集；(2)若对一切x2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．解(1)g(x)＝2x2－4x－160，∴(2x＋4)(x－4)0，∴－2x4，∴不等式g(x)0的解集为{x|－2x4}．(2)∵f(x)＝x2－2x－8.当x2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．∴对一切x2，均有不等式x2－4x＋7x－1≥m成立．而x2－4x＋7x－1＝(x－1)＋4x－1－2≥2x－1×4x－1－2＝2(当x＝3时等号成立)．∴实数m的取值范围是(－∞，2]．19．(12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A3－1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2海里的C处的缉私船奉命以103海里的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解设缉私船用th在D处追上走私船，如图则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2cos120°＝6.∴BC＝6.由正弦定理，得sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC＝2×sin120°6＝22.∴∠ABC＝45°，∴BC为东西方向，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．