高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《第二章平面向量》质量评估

章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列等式：(1)a·0＝0；(2)0·a＝0；(3)若a，b同向共线，则a·b＝|a|·|b|；(4)a≠0，b≠0，则a·b≠0；(5)a·b＝0，则a·b中至少有一个为0；(6)若a，b均是单位向量，则a2＝b2.以上成立的是()．A．(1)(2)(5)(6)B．(3)(6)C．(2)(3)(4)D．(3)(6)解析因为a·0＝0，所以(1)错；因为0·a＝0，所以(2)错；当a，b同向共线时，cos〈a，b〉＝1，此时a·b＝|a|·|b|，所以(3)对；若a⊥b，尽管a≠0，b≠0，仍有a·b＝0，所以(4)错；当a≠0，b≠0，且a⊥b时，a·b＝0，所以(5)错；因为a，b均是单位向量，所以a2＝b2，即(6)正确．故选D.答案D2．已知向量a＝(1，3)，b＝(3＋1，3－1)，则a与b的夹角为()．A.π4B.π3C.π2D.3π4解析cosθ＝a·b|a||b|＝3＋1＋3－32×22＝22，又θ∈[0，π]，∴θ＝π4.答案A3．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值是()．A．等于2B．等于0C．大于2D．等于0或等于2解析|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cosθ，∵a与b共线，∴cosθ＝1或cosθ＝－1.∴|a＋b|＝0或2.答案D4．已知线段AB的中点为C，则AB→－BC→＝()．A．3AC→B.AC→C.CA→D．3CA→解析∵AB→＝2AC→＝－2BC→，∴AB→－BC→＝－3BC→＝3AC→.答案A5．已知△ABC中，CB→＝a，CA→＝b，a·b0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角为()．A．30°B．－150°C．150°D．30°或150°解析CB→·CA→0，∴∠ACB90°，故答案应为C.答案C6．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()．A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34解析根据基底概念，e1与e2不共线，对于B，∵－1×7－2×5≠0，故可作平面内的一组基底．答案B7．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则|a||b|等于()．A.14B．4C.12D．2解析由(a＋2b)·(a－2b)＝0，有a2－2ab＋2ab－4b2＝0，∴a2＝4b2，∴|a|＝2|b|，∴|a||b|＝2.故选D.答案D8．点O是△ABC所在平面内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点O是△ABC的()．A．三条内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点解析OA→·OB→＝OB→·OC→⇒(OA→－OC→)·OB→＝0⇒CA→·OB→＝0⇒CA→⊥OB→.同理可得BC→⊥OA→，AB→⊥OC→.因此点O是△ABC的垂心．故选D.答案D9．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为()．A．(－2,4)B．(－30,25)C．(10，－5)D．(5，－10)解析由已知，设平移后M(x，y)，有PM→＝5v，∴(x，y)＝(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．答案C10．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于()．A．－49B．－43C.43D.49解析由AP→＝2PM→，AM＝1知，PM＝13，PA＝23，PB→＋PC→＝2PM→，所以PA→·(PB→＋PC→)＝2PA→·PM→＝2|PA→||PM→|cos180°＝2×23×13×(－1)＝－49.故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.解析|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×－12＝49，∴|5a－b|＝7.答案712．已知点A(2,3)，C(0,1)，且AB→＝－2BC→，则点B的坐标为________．解析设点B的坐标为(x，y)，则AB→＝(x－2，y－3)．BC→＝(－x,1－y)，又AB→＝－2BC→，∴(x－2，y－3)＝－2(－x,1－y)＝(2x,2y－2)．∴x＝－2，y＝－1.答案(－2，－1)13．与a＝(12,5)平行的单位向量是________．解析由题意设b＝λa＝(12λ，5λ)，且|b|＝1.则(12λ)2＋(5λ)2＝1，解得λ＝±113∴b＝1213，513或b＝－1213，－513答案1213，513或－1213，－51314．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，12)，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．解析a＋2b＝(6,2)＋2－4，12＝(－2,3)．设P(x，y)为所求直线上任意一点，则AP→＝(x－3，y＋1)．∵AP→·(a＋2b)＝0，∴－2(x－3)＋3(y＋1)＝0，整理得2x－3y－9＝0.∴2x－3y－9＝0即为所求直线方程．答案2x－3y－9＝0三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)如图，O是△ABC内一点，PQ∥BC，且PQBC＝t，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用a，b，c表示OP→与OQ→.解因为PQBC＝t，所以APAB＝t，得到BP＝(1－t)AB，OP→＝OB→＋BP→＝b＋(1－t)BA→＝b＋(1－t)(a－b)＝(1－t)a＋tb.同理可得，OQ→＝(1－t)a＋tc.16．(10分)已知点A(0,1)和点B(－3,4)，O为坐标原点，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC→|＝2，求向量OC→的坐标．解设a＝OA→＝(0,1)，b＝OB→|OB→|＝－35，45，则|a|＝|b|＝1.即a与b分别是与OA→，OB→共线的单位向量．因为点C在∠AOB的平分线上，所以OC→与a＋b共线．设OC→＝λ(a＋b)(λ0)，则OC→＝λ(－35，95)．∵|OC→|＝2，∴λ2925＋8125＝4，得λ＝103.故OC→＝－105，3105.17．(10分)已知a＝(3，－1)，b＝12，32，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求k＋t2t的最小值．解∵a＝(3，－1)，b＝12，32，∴|a|＝32＋－12＝2，|b|＝122＋322＝1.∴a·b＝3×12＋(－1)×32＝0，故有a⊥b.由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－kt2＋3k)a·b＝0.∴－k|a|2＋(t3－3t)|b|2＝0.将|a|＝2，|b|＝1代入上式，得－4k＋t3－3t＝0.∴k＝t3－3t4，∴k＋t2t＝14(t2＋4t－3)＝14(t＋2)2－74.故当t＝－2时，k＋t2t有最小值－74.18．(12分)已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(3cosx，cosx)，且b≠0，定义函数f(x)＝2a·b－1.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若a∥b，求tanx的值；(3)若a⊥b，求x的最小正值．解(1)f(x)＝2a·b－1＝2(3sinxcosx＋cos2x)－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6.∴单调增区间为kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z.(2)由a∥b，得sinxcosx－3cos2x＝0，∵b≠0，∴cosx≠0.∴tanx－3＝0，∴tanx＝3.(3)由a⊥b得3sinxcosx＋cos2x＝0，∵b≠0，∴cosx≠0∴tanx＝－33故x的最小正值为：x＝5π6.19．(12分)(2012·温州高一检测)平面内有四边形ABCD，BC→＝2AD→，且AB＝CD＝DA＝2，AD→＝a，BA→＝b，M是CD的中点．(1)试用a，b表示BM→；(2)AB上有点P，PC和BM的交点为Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.解(1)BM→＝12(BD→＋BC→)＝12(BA→＋AD→＋2AD→)＝32a＋12b.(2)设BP→＝tBA→，则BQ→＝BC→＋CQ→＝BC→＋23(CB→＋BP→)＝23BP→＋13BC→＝23tBA→＋13·2AD→＝23(a＋tb)．设BQ→＝λBM→＝3λ2a＋λ2b，由于BA→，AD→不共线，则有3λ2＝23λ2＝23t，解方程组得λ＝49，t＝13.故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5.