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§3.1空间向量及其运算（练习）学习目标1.熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2.熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.学习过程一、课前准备：（阅读课本p115）复习：1.具有和的量叫向量，叫向量的模；叫零向量，记着；具有叫单位向量.2.向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.3.实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)当λ＞0时，λa与A.；当λ＜0时，λa与A.；当λ＝0时，λa＝.4.向量加法和数乘向量运算律：交换律：a＋b＝结合律：(a＋b)＋c＝数乘分配律：λ(a＋b)＝5.①表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.②空间向量共线定理：对空间任意两个向量,ab（0b），//ab的充要条件是存在唯一实数，使得；③推论：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是6.空间向量共面：①共面向量：同一平面的向量.②定理：对空间两个不共线向量,ab，向量p与向量,ab共面的充要条件是存在，使得.③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有7.向量的数量积：ab.8.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}xyz，使得axiyjzk，则称有序实数组{,,}xyz为向量a的坐标，记着p.10.设A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则AB＝.11.向量的直角坐标运算：设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝※动手试试1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）A．0B.1C.2D.32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量1DA、1DC、11AC是（）A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（）A.627B.637C.647D.6574．若a、b均为非零向量，则||||abab是a与b共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．56.32,2,aijkbijk则53ab（）A．－15B．－5C．－3D．－1※典型例题例1如图，空间四边形OABC中，,OAaOBb，OCc，点M在OA上，且OM=2MA,点N为BC的中点，则MN.变式：如图，平行六面体''''ABCDABCD中，,ABaADb，'AAc,点,,PMN分别是'''',,CACDCD的中点，点Q在'CA上，且'41CQQA,用基底,,abc表示下列向量：⑴AP;⑵AM;⑶AN;⑷AQ.例2如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，190,1,2,6ABCCBCAAA,点M是1CC的中点，求证：1AMBA.变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是BC的中点，在直线1CC上求一点N，使得1MNAB学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa，CBb，1CCc，则1AB（）A.abcB.abcC.abcD.abc2.,,mamb(,nabR向量且、0)则（）A．//mnB．m与n不平行也不垂直C.mn，D．以上情况都可能.3.已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角,ab为（）A．30°B．45°C．60°D．以上都不对4.已知1,1,0,1,0,2,ab且kab与2ab互相垂直，则k的值是（）A..1B.15C.35D.755.若A(m＋1，n－1,3)，B.(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=课后作业如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点,,EFG分别是11,,DDBDBB的中点.⑴求证：EFCF；⑵求EF与CG所成角的余弦；⑶求CE的长.