高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.1变化率与导数》教案

第一章导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr分析:343)(VVr，⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了hto)(16.0)1()2(dmrr气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(VVVrVr问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00t和21t的平均速度v在5.00t这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(smhhv；在21t这段时间里，)/(2.812)1()2(smhhv探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12xxx,)()(12xfxff(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样)()(12xfxfyf)3．则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212思考：观察函数f(x)的图象平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?直线AB的斜率三．典例分析例1．已知函数f(x)=xx2的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB,则xy．解：)1()1(22xxy，∴xxxxxy32)1()1(2例2．求2xy在0xx附近的平均变化率。解：2020)(xxxy，所以xxxxxy2020)(xxxxxxxx020202022所以2xy在0xx附近的平均变化率为xx02四．课堂练习1．质点运动规律为32ts，则在时间)3,3(t中相应的平均速度为．2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.五．回顾总结1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率x1x2Oyy=f(x)f(x1)f(x2)△x=x2-x1△y=f(x2)-f(x1)x253t