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万有引力定律的建立万有引力定律的建立过程是牛顿通过对运动的研究，探索出自然力的规律的最辉煌的范例。本节将依据牛顿在各个时期写的手稿和论著，探讨牛顿引力思想的发展过程，以期回答下述问题：牛顿是怎样依据他的运动定律和运动学公式推导出“离心力”公式，又如何结合开普勒定律推导出引力的平方反比律的？他是如何依据天文观测和大地测量的结果进行地月验证的？又是如何解决椭圆轨道上运动物体的引力以及球体引力的问题？他是怎样确立引力普适性概念，对引力定律进行实验验证的？3.2.1引力平方反比律的发现引力平方反比律是1665年到1667年牛顿在家乡居住躲避瘟疫的时期发现的。当时他24岁左右，正值青春年华、才思敏捷的时代，他的引力思想正是在这二年间孕育、发展和形成的。后来牛顿在谈到他在1666年间一系列重要发现时写道：“这一年里，我开始想把重力推广到月球的运行轨道上去，在求出了在内球面上一个旋转的小球对球面的压力后，我就从行星运转周期的平方同它们到太阳的平均距离的立方成正比的开普勒定律推导出：使行星保持在它们的轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离的平方成反比。而后把使月球保持在它轨道上所需要的力和地球表面的重力做了比较，发现它们近似相等。所有这一切都是在1665年和1666年瘟疫流行的年代里发现的。那时我正处于发明创造的青春年代，并且比任何时候都更关心数学和哲学。”在1664年—1665年写的《未发表的记事手稿》中，牛顿讨论了在圆形轨道上运动的质点所受的向心力的问题，这是推导引力平方反比定律的必由之路。当时力学的发展处于萌芽时期，力的概念还是很模糊的，冲量、动量都包含在力的概念之中。在这样一个认识水平上，牛顿运用他头脑中正在萌发的、尚未准确表述的运动定律，即力正比于运动量的改变，以及数学上的极限概念和几何学方法，非常巧妙地得出了“离心力”定律。在图3.8中，他假设一个小球在半径为R的圆筒内表面上沿abcda作圆运动，如果圆筒内壁不控制其运动，小球在b点或d点就会沿切线bj或dk飞离出去。由此看来，所有作圆周运动的物体都力图脱离它们的运动中心。为了求出作圆运动的小球的“离心力”的大小，他先从圆内接正方形路径(如图3.9中abcda所示)开始讨论。他首先分析一次碰撞时小球对器壁的冲量。他写道：“在小球从a运动到b时，小球反射时对壁的压力(指冲量)：小球运动的力(指动量)=ab∶fa”。用现代的术语来解释就是器壁对小球的冲量应等于小球动量的变化。当小球以45°的入射角射向光滑壁面的时候，它将以同样大小的动量，在反射角45°的方向上反射出来。对b点动量变化与冲量的关系如图3.10所示，器壁对小球的冲量的大小为｜I｜=｜mv2-mv1｜=｜△mv｜因为v1=v2=v这与牛顿第二定律完全一致，但是，当时他还没有这样明确的表述。根据以上分析，他得出4次反射的情形：“4次反射的力(指冲量)：小球运动的力(指动量)=4ab：fa”。他把此结果推广到无穷多边的多边形，从而得出结论：“全部反射力与物体运动的力之比如同全部边长(即周长)对半径之比。”学科王“全部反射力”指小球在旋转一周的时间T内小球的“离心力”的冲量，即FT。按照上述结论可得时并没有给出这一公式。1669年前，牛顿在《论圆运动》的手稿中，根据惯性原理、自由落体定律和正在他头脑中萌发的牛顿第二定律，通过几何分析，又得到了他的离心力公式。他在这篇文章中明确地提出了引力的平方反比定律。他写道：“由于行星到太阳的距离的立方同它们运行周期的平方成正比，所以行星退离太阳的离心力与行星到太阳的距离的平方成反比。”牛顿在这里没有叙述他的推导过程。但是有了他的离心力公式和开普勒第三定律，我们很容易从匀速圆周运动的向心力公式得出上述结论，即学科王学科王亦即F∝1/R2。值得注意的是，在牛顿早期的著作中并没有使用向心力这一术语。在1684年，他写的《论运动》的手稿中，首次提出了向心力的定义：“我称之为的向心力是物体被吸引或迫使向某个中心点的力。”在《原理》一书中，又进行了非常明晰的讨论，并把在圆运动中物体受到的向心力和它所具有的惯性离心趋势加以区别。3.2.2引力平方反比律的地月验证学科王牛顿晚年的挚友彭伯顿博士，在他的《哲学解释》的序言中讲述了牛顿关于引力思索的一个生动的故事：“1666年，他在沃尔斯索普村家里躲避瘟疫时，有一次他独自坐在花园里，忽然看到一个苹果从树上掉了下来，他吃了一惊，同时便沉浸在引力的思索中。沉思引起的巨大威力，即使是在我们所能够达到的，离地心很远很远的地方，这种引力也丝毫不见减小。不管是在最高的建筑的最上层，还是在最高的山顶上都是一样。因而他就想，是否可以设想，这种力的作用范围可能要比通常设想的还要大得多，比如说一直延续到月亮。如果是这样的话，月亮的运动必定受到引力的影响，甚至很可能这个力就是使月亮维持在它的轨道上的原因。”这个关于引力思索的故事，说明牛顿开始产生了把地面上物体的重力与保持月亮在它的轨道上的力看成同一本质的力的想法。苹果落地激起了一个伟大科学家的头脑的灵感，牛顿以他非凡的洞察力在落体运动与月亮运动之间搭起了一座智慧之桥，觉察到了天体运动与地球上的运动的统一性。这个故事是牛顿在发现万有引力定律的艰苦历程中的一个有趣的小插曲，当然不能把它讹传为牛顿看到苹果落地就发现了万有引力定律。牛顿在1669年前写的《论圆运动》中，开始对引力的平方反比律进行地月验证。他把维持月亮在它的轨道上的力与地球表面上的重力做了比较。牛顿当时是这样分析问题的，在图3.11中，设月球在轨道上的任意点A，如果它不受任何力，它将沿一直线AB运行，AB与事实上向C下落的高度h=BD，让我们计算一下月球一秒钟降落多少，并把它同地面附近一水平抛射体在同样时间落下的距离加以比较。由图3.11可见在△ABD和△ABE中，∠BAD=∠BEA，且∠DBA是公共角，所以，2个三角形相似，由此得月亮在1s内下落的距离为要求出h值，我们需要知道半径R和周期T。他利用了天体测量的结果：月亮与地球之间的距离是地球半径的60倍，月亮绕地球一周的时间为27d7h43min或27.3216d。他采用了当时地球表面大圆弧上一度为60mile(1mile=1609.3m)的公共量度，得到地球半径为3500mile，1mile又等于5280ft，将以上数据代入上式，得他把这一数据和伽利略测量的地球表面上的重物在1s内下落16ft的数据加以比较，有一个物体，在相同时间内h∝a∝F。牛顿知道月亮轨道的半径约为地球本身半径的60倍。如果引力与距离的平方成反比的关系成立，上式应为1/3600，二者相差14％，这说明在开始进行地月检验时，牛顿的计算与预期的结果并不是“相当接近”，而是“不太符合”。13年后的1682年，牛顿获悉毕卡尔的地球经度一度之长为69.1mile，依据这数字牛顿重新计算，才使计算结果与实验观测相符合，从而证明引力与距离的平方成反比的关系是正确的。3.2.3在椭圆轨道上运动物体所受的引力行星绕日运动的轨道究竟是什么样的，这是当时科学界所关心的问题。1679年，哈雷与伦恩也按照圆形轨道由开普勒第三定律和惠更斯在1673年发表的向心力的公式，证明了作用于行星的引力与它们到太阳的距离的平方成反比。但是他们不能证明行星在椭圆轨道上也是如此。这年10月24日，胡克在给牛顿的信中，提出了引力反比于距离的平方的猜测，并问道：如果是这样，行星的轨道将是什么形状？胡克给牛顿的信重新激起了牛顿对动力学的兴趣，使牛顿把他的注意力转到椭圆运动问题。学科王1684年1月，伦恩、哈雷和胡克三位当时英国科学界著名人士在伦敦相叙，讨论行星运动的轨道问题。胡克说他已通晓，但拿不出计算结果。于是牛顿的好友哈雷专程去剑桥请教牛顿。牛顿告诉哈雷他在1679年做了行星在椭圆轨道上时引力平方反比律的证明，断然地说，行星绕日轨道是个椭圆，但手稿压置5年之久，一时找不到，应允重新计算，约期三个月后交稿。哈雷按约再度访剑桥，牛顿交出一份手稿《论运动》，哈雷大为赞叹。这份手稿一开始就提出3条假设：①如果物体不受到阻力或其它外力，将一直做匀速直线运动；②运动的变化永远正比于使运动发生变化的力；③运动合成遵循矢量相加的平行四边形法则。这些假设的提出表明力学的基本定律已经开始形成，但还不完备，还未上升到理论的高度。他首先根据开普勒第一定律(即行星绕太阳作椭圆运动)，证明了各个行星必然受到太阳的引力，这些引力的方向指向太阳，太阳就是这些引力的中心。为此他提出并论证了下述命题一。命题一：如果一个物体在真空中运动而且被一个固定中心所吸引，它将在一个固定平面内运动，而且在相等的时间内，物体与力心的连线，扫过相等的面积。如图3.12所示，令A为力心，假设把时间分成许多相等的小段，在第1段时间内，物体从B匀速运动到C，如果没有受力，它将沿直线BC运动到I，而且CI=BC。若在C点它受到一个推向A的冲力，在冲力的作用下它沿CD线运动。从I点作平行于CA的直线得ID，D就是第2个瞬时末物体所在的位置。由于同底等高，△ACD和△ACI的面积相等，也等于△ABC的面积。同理，如果在第2，第3，第4，第5各瞬时末，物体在D，E，F，G各点受到指向A的冲力的作用，将使物体在每一段相等的时间内经过直线段DE，EF和FG等等。而且△AED，△AFE和△AGF的面积都等于△ADC，△ABC。因此在相等的时间内扫过相等的面积。现在假定时间间隔无限地减小，而三角形的数目无限地增大，那么，引力的冲力就可能变成连续的，而由无限多小线段组成的折线就可能变成一条曲线，在连续的引力作用下，物体与力心的连线所扫过的面积和物体运行的时间成正比。把这一定律应用于开普勒行星运动图象。从开普勒的等面积定律和命题1的逆命题，就可以得出作用在行星上的力都是指向太阳的，太阳是吸引行星的力心。解决了这一问题后，牛顿就可以讨论在指向焦点的力的作用下，物体在椭圆上运动的问题，进一步探讨物体受力的大小与物体到力心的距离的关系，为此他提出并论证了命题二。命题二：如果在椭圆上运动的物体受到一个指向椭圆焦点的引力，在椭圆的两个顶点处物体受到的引力与物体到焦点的距离的平方成反比。它们视为直线。这样扇形的面积就变成直角三角形的面积。由此得即设AM和CN是通过顶点A和C的切线，分别作AM与CN的垂线ME和DN。因为椭圆在C，A两点是同样弯曲的，所以EM与DN之比等于AE的平方和CD的平方之比，即当物体在顶点不受力时，将沿切线AM，CN运动。在这段时间内，引力的作用相当于使物体从M运动到E，从N运动到D，所以物体在椭圆顶点A受的引力与在顶点C受的引力之比等于ME与ND之比，从而与距离的平方成反比，即在命题3中，他依据上述三条力学假设、开普勒的等面积定律和椭圆的几何关系，推导出了在椭圆上运动的物体，在任意点处物体受到的引力与物体到焦点的距离的平方成反比。3.2.4球体引力问题的解决，引力普适性概念的确立1685年春天，牛顿以卓越的彻底革命精神和严谨的科学态度解决了求解球体引力的问题。他在《原理》中证明了：一个均匀的实心球体对外部质点的吸引力是与球的质量集中在中心时产生的吸引力是相同的，引力的大小与粒子到球心的距离的平方成反比。因此，两个球互相吸引时，与彼此的质量好像集中在各自中心时产生的吸引力一样，引力的大小与两个球心之间的距离平方成反比。因而，讨论引力的问题时，太阳、行星可以当作质点来处理。在讨论球体引力的问题时，牛顿进一步把质量概念引进球体引力定理。他提出：在球心距离相同的条件下，两个球之间的引力正比于两个球的物质的量的乘积；在球心距离不同的条件下，引力与两个球的物质的量的乘积成正比而与球心之间的距离的平方成反比。在《原理》第三篇宇宙体系中，他精辟地表达了万有引力定律：“一切物体所具有的引力正比于它们各自所包含的物质的量，与距离的平方成反比。”如果我们用m1及m2分别表示二物体的质量，R表示二者之间的距离，则引力F为(3.2)学科王这就是万有引力定律的数学表示式，式中G是引力常数。学科王万有引力定律的发现揭示了引力的“万有性”或“普适性”。以前牛顿只考虑太阳对行星的引