高中物理力学部分解题法的扩展应用探讨

高中物理力学部分解题法的扩展应用探讨摘要：本文通过尝试用中学物理的方法去解大学物理力学习题中用高等数学解的物理问题，并以力学中的运动学和守恒定律的题为例，说明了把高中物理解题法应用到解决大学物理问题，有时候也很方便。能大大的提高学生的解题能力，对高中学生各类较高水平的物理考试有帮助。关键词：高中物理；力学部分；解题法；应用引言解物理习题是物理教学过程中的一个不可缺少的重要环节，通过解物理习题不仅能检查学生对基本内容的了解和掌握的程度，还能巩固所学的知识，培养学生分析问题和解决问题的能力。能够快速、准确、科学的解物理习题可以激发学生学习的主动性、积极性和兴趣。因此，能够正确的解物理习题对学生有着很重要的意义。力学部分是中学物理和大学物理的接口，它发挥着一个承前启后的作用[1]。本文主要对高中物理力学部分解题法的扩展应用进行初步探讨，这种探讨对参加高考、物理竞赛和高校自主招生考试的中学生有很大的帮助。国外对力学部分的一些难题，如大学物理力学部分的题，用高中物理解题法分析并没有进行深入的探讨，他们大多数是从解题策略的角度进行研究。如TolgaGok提出元认知在物理问题解决方面已经被认为是一个重要因素。为了更好地理解学生的思维过程，一些元认知技能规划、监控和评估,应当纳入解决问题的指示，进一步完善学生的解决问题能力,而不是仅仅告诉解题策略,教学设计应该修改,以促进认知过程,构建结构化的知识和开发可取的思维习惯,并引导学生通过阶段的认知发展[2]。而在我国物理学界对各种中学解题模式和具体方法研究比较广泛深入。如杨德琴、卞文昌提出的中学物理解题法有图像法、整体法、隔离法、等效替代法、极限思维法等多种多样[3]。但是都没有尝试用高中解题法去解决一些大学物理的题。中学物理教学除了让学生掌握物理知识外，最直接的目的就是高考。因此，教会学生用最短的时间快速、准确的解题是高中物理教师的一大教学任务。高中物理教师通过组织有效的习题教学，传授一些解题技巧帮助学生跨越思维障碍，能够在考试中考得好成绩。但是随着社会的发展，竞争越来越激励，为了选拔优秀的学生，越来越多的物理竞赛、高校自主招生考试被举行，对参加者的要求也就更高了，考试的题目有些甚至比高考都还难，部分题目还涉及到大学物理问题。因此，想要在这些考试中取得好成绩，当靠学生平常的做题是不行的，还需要教师适当的帮助学生补充一些知识、方法、归纳总结，做更多的积累才能在这些考试中获得好成绩。1大学物理解题的特点及与中学物理解题的比较力学部分是大学物理的第一部分，基本内容在高中物理课上虽已讲授过，但较为粗浅，比起高中物理，大学物理力学部分更全面、更系统、更严密，解题难度也相应的增大。是对中学问题的深入、提高，条件更一般、更接近生活实际，如研究对象由匀速运动变为变速运动,恒力做功变为变力做功,均匀电场、磁场变为非均匀电场、磁场等等，而研究的空间也从原来一维的情况发展到三维空间[4]。对于题目里涉及对象比较多的力学系统，用一般的高中物理的解题方法，往往涉及的运动学和动力学的方程较多，再加上一些表示几何关系和约束反力的辅助方1程，会大大地增加解方程的难度和初等教学运算量，给解题带来麻烦[5]。用高等数学的微积分、极限、矢量等工具进行运算则非常方便。因为高等数学是物理学研究和发展不可缺少的理论思维工具，它具有高度的抽象性，结论的精确性和广泛的应用性。数学知识对于物理学科来说，绝不仅仅是一种数量分析和运算工具，更重要的是物理概念的定义工具和物理定理、原理的推导工具[6]。而在高中物理教学中，力学部分贯穿整个高中，是高中物理的一块基石，因此，熟悉并掌握力学解题法是非常重要的。中学物理运算是以初等数学为基础，一般按照：1、认真审题，明确研究对象。力学部分需要对研究对象进行受力分析，而往往题目涉及的物体很多，这时就需要仔细审题，明确你的研究对象。2、对研究对象进行受力分析。正确的对物体进行受力分析，是解决力学问题的前提和关键，一般按照重力、弹力、摩擦力、其他力（电场力、磁场力、分子力等）的顺序找力，逐一找全，防止漏力。3、运用规律和几何关系立方程。先要明确物理概念，从而区分各个物理量，以免将物理概念弄混淆，如速度和加速度是两个截然不同的物理量，前者描述物体运动快慢，而后者描述速度变化的快慢。高中物理力的规律主要有牛顿运动三定律、万有引力定律、机械能守恒定律、动能定律、动量定律、动量守恒定律等等。根据题目意思从：（1）、根据物理过程选择规律；（2）、从已知条件选择物理规律；（3）、从解题结果检验物理规律选择的合理性这三者中选择合适的规律。然后根据几何关系立出相应的方程组。4、对方程组进行求解，用初等数学运算便可得到结果。中学物理研究的问题一般都是恒定条件，理想化模型，所研究的空间也基本上都是一维的，物理量一般用代数值表示，而正负号则表示物理量的方向，一般不强调矢量的运算和书写。物理公式也是在特定的情况下才成立。总而言之，大学物理与中学物理的主要区别在于要求学生灵活的掌握运用数学手段解决物理问题，中学物理是以初等数学为基础，而普通物理是以高等数学为基础的，很多物理题因为高等数学的运用才得以扩展，才让我们对题的本质有了更透彻的了解。2高中物理解题法的扩展应用2.1运动学运动学是大学物理课程的第一章，由于高等数学是物理概念的定义工具和物理定理、原理的推导工具。因此，运用微积分解题，即从运动方程出发，通过微分运算求出质点在任意时刻的位矢、速度和加速度；在已知加速度（速度）与时间的关系以及初始条件的情况下，由积分运算求出任意时刻质点的速度和位置[8]。这些是我们做运动学题目时最常用的方法，但是我们发现有些运动学的题目，有时用初等的方法也可以解决，而且还很方便。如例1：例1：如图1，直线1与圆弧2分别表示两质点A、B从同一地点出发，沿同一方向做直线运动的v-t图。已知B的初速度0v=bm/s,它的速率由0v变为0所花的时间为1t=2bs,试设在B停止时，A恰好追上B，求A的加速度？分析：由于题目给的是圆弧，则要先求出圆弧B的圆心和半径。可以根据速度的定义，用积分可求出位移，在由直线运动定义可求得加速度。也可以通过AB两质点同时从同一地点出发后相遇，位移相同，V-t图下的面积应相等，从而根据几何关系立出式子，便可求得，但是提前是要求对初等数学知识要学会灵活运用。2图1图（a）Fig1Fig(a)大学解法：设圆弧2的圆心为C,离原点0的距离为cv，半径为R，由解图（a）的几何关系2222(2)()ccbvRvb（1）由（1）得：35,22cvbRb（2）设任意时刻t，质点B的速度为Bv，如解图（a），可建立关系：222()BctvvR代入（2）式得22235()()22Btvbb（3）在t=2bs时，Bv=0，且ABxx，由直线1可知，00Av，由于t=0时，ABxx=0，所以t=2b时有212AABxatx（4）从（3）式可得2253()22Bvbtb（5）所以2222200053()22bbbBBxvdtbtdtbdt=222253arcsin0.81.482bmbmbm（6）由（4）式得222222222.8/0.7/(2)4BBAxxbamsmstbb（7）3高中解法：设圆弧2的圆心为C,离原点0的距离为cv，半径为R，由解图（a）的几何关系得2222(2)()ccbvRvb（1）解得35,22cvbRb（2）AB两质点同时从同一地点出发后相遇，位移相同。V-t图下的面积应相等，Bx可由V-t图上的半个弓形面积求得，由图（b）可知：图（b）Fig(b)2arcsinarcsin0.853.1obR22221[2(2)]1.42ABxxsRbRbmbm（3）由212AAxat得：222222/1.4/2/0.7/AAaxtbbmsms（4）2.2守恒定律物理中我们运用动量、能量、角动量可以解决很多的问题，但是过程比较复杂，而运用守恒定律则可以使问题简单化、思路清晰明了。守恒定律是只管初末状态量，不管过程量的定律。运用守恒定律可以省去很多复杂的过程，这类题用高等数学的微积分思想解题很方便，用高中的物理解题方法也很方便。用高中解题法还可以避开高等数学的一些运算。我们经常遇到变力做功的题目，往往觉得很难，仔细分析就会发现所求的量与过程量无关，可以不需要考虑过程量，只需考虑初末状态量，然后根据守恒定律立式进行计算便可。如例2、例3：4例2：一根长为L、质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑木钉上，如图（2）所示，开始时，BC=b，试证明当BC=2L/3，绳的加速度为13ag，速度为V=2222()9gLbLbL。图2Fig2分析：本题的研究对象是有质量的软绳，质量密度为常量，开始时下垂在光滑木钉两侧的软绳长度不同，因软绳所受重力正比于下垂长度，所以，由于受力不平衡而发生单向运动，光滑木钉对绳的支持力垂直于绳运动方向，设软绳不可伸长，则绳上各部分具有相同大小的速度和加速度值。因此，软绳的运动可视为变力作用下的直线运动。变力作用下做功，用高等数学的微积分思想很好解决，而在高中我们只学过恒力做功的计算，似乎不能用高中的解题法进行探讨，但这类习题只有重力做功，所求量要为末状态量，运用动能定理或机械能守恒定律立式求解便可。大学解法：第一步的证明和上种解法相同，都用了牛顿第二定律。第二部证明：软绳下滑过程中只有重力做功，在时刻t，软绳受重力为(2)xLg，下滑过程中重力所做的功为23(2)LbAgxLdx（1）根据动能定理，2321(2)2LbgxLdxmv（2）解得V=2222()9gLbLbL（3）5高中解法：选软绳为研究对象，取坐标如解图2，设某时刻软绳下滑一侧的下垂长度为x，另一侧长度为（Lx），质量为m，则质量线密度为=mL，软绳在运动方向的受力，由牛顿第二定律得XmgLxmg=xg()Lxg=ma(1)可见，软绳在运动方向所受合力为F合=（2x-L）g（2）（1）式可写为(2)xLgLa（3）当2/3xL时，软绳的加速度为13ag由于木钉的半径很小，可忽略绕着木钉的那小节软绳的长度，软绳在下滑过程中只有重力做功，系统机械能守恒，根据机械能守恒定律得：221()2233362bLbLLLLbgLbgggLv（4）在这里计算过程由于复杂而省略，经过计算可得：V=2222()9gLbLbL（5）例3：如图（3）有一个密度为的均匀细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为o的液体表面。现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入液体中时的沉降速度。设液体没有黏性。图3Fig36分析：本题的研究对象为细棒，根据已知条件对细棒进行受力分析，在下落过程中细棒受到两个力的作用：一个是重力mg，为恒力，而另一个力为液体对它的浮力F浮，由于细棒浸在液体中的长度在发生变化，因此，浮力为一个变力。设细棒浸在液体中的长度为x，横截面积为s，则0F=-gx浮s，用高等数学微积分思想，对其进行积分便可。如果用中学物理方法进行求解则通过公式我们发现F浮与x之间成线性关系，因此浮力做功可以用平均力进行计算。运用动能定理也很容易解决问题大学解法：根据牛顿第二定律得：=dvmgFmdt浮(1)两边分别乘以dx可变成dvmgdxFdxmdxdt浮(2)代入已知条件dxvdt，得0()lxgdxlvdv(3)两边积分0000()lvvlxgdxmvdvlvdv(4)22201122glgllv(5)0(2)lgv(6)高中解法：设细棒浸在液体中的长度为x，横截面积为s，则0F=-gx浮s，对细棒下落的整个过程用动能定理可得：2001022gslmgllmv（1）经过计算可得：0(2)lgv(2)73总结通过以上三个例题，我们发现把高中物理解题法应用到解决大学物理问题，有时候很方便。但这是一个比较艰