高二数学同步辅导(第09讲)简单的线性规划

1高二数学同步辅导（第9讲）简单的线性规划一、本讲进度7.4简单的线性规划7.5研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用课本第57页至67页二、本讲主要内容1、二元一次不等式的几何意义；2、图解法解决两个变量的线性规划问题的一般步骤；3、线性规划在实际生活中的运用三、学习指导1、在直线（形）与二元一次方程（数）对应的基础上，本节进一步研究区域（形）与二元一次不等式（数）之间的对应关系。利用函数值的大小关系，可得到如下结论：（1）从形到数①当直线用斜截式表示时，设点P（x0，y0），直线：y=kx+b上方y0kx0+bP在直线上y0=kx0+b下方y0kx0+b②当直线用一般式表示时，设直线：Ax+By+C=0（B0）上方Ax0+By0+C0P在直线上Ax0+By0+C=0下方Ax0+By0+C0（2）从数到形直线上方区域①y=kx+b直线上的点直线下方区域②设B0，则直线上方区域Ax+By+C=0直线上的点直线下方区域当B0时，可用转化思想化简。其规律是当B的符号与不等号同向时，以不等式的解为坐标的点在直线上方区域；当B的符号与不等号异向时，以不等式的解为坐标的点在直线下方区域。22、平面区域的画法：第一步，画出边界线，Ax+By+C=0，注意，若二元一次不等式是严格不等号，则边界线画成虚线；否则画成实线.第二步，取特殊点判断，当C≠0时，取原点（0，0）。第三步，用斜线表示满足不等式的区域。3、二元一次不等式组的几何意义是不等式组中每个不等式表示的平面区域的公共部分。当直线的方程Ax+By+C=0中出现A或B为零时，作出边界线，直线利用实数大小关系判断。例如在不等式Ax+By+C0中：当A=0时：若B0，则不等式By+C0表示直线By+C=0上方区域；若B0，则不等式By+C0表示直线By+C=0下方区域；当B=0时，若A0，则不等式Ax+C0表示直线Ax+C=0右侧区域；若A0，则不等式Ax+C0表示直线Ax+C=0左侧区域。4、所谓线性规划就是研究线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。（1）二元线性规划的图解法实质上就是数形结合思想中的以形助数的体现。因为线性约束条件是不等式组，故通过函数单调性及基本不等式等数的方法无法解决此二元函数的最值问题。而线性约束条件（二元一次不等式组）及目标函数（借助于函数与方程的思想，可看成方程）均有明显的几何意义，所以考虑用形的方法解决这个代数问题。（2）图解法的一般步骤是：①在正确理解题设中量与量的关系基础上，设二元变量，列约束条件，这个约束条件既包括显性的，又包括隐性的（如实际问题特征等）；②作出可行域，注意边界的虚实线情况，可行域可能是封闭的，又可能是开放的；③建立目标函数，转化为方程，该方程的几何意义是平行直线系，目标函数通常与直线系在纵轴上的截距有关；④平移直线找最优解，最优解通常在区域的顶点处取到。当自变量要求是整数时，一般应慎重考虑；⑤得到实际问题的结论。（3）图解法只能解决二元函数的问题。（4）图解法中在平移直线的过程中，直线的斜率是个非常重要的参数，其倾斜角程度直接影响到问题的最后结论。四、典型例题x-y+3≥0x+y-5≤0例1、已知线性约束条件2x-y-4≤0x≥0y≥0求目标函数z=x+2y的最大值3解题思路分析：第一步，作出可行域，它应该是每个二元一次不等式所表示区域的公共部分。如图为五边形OABCD，边界均为实线。第二步，利用函数与方程的思想，将z=x+2y看成是关于x、y的二元一次方程（对原来目标函数z而言，这是一种间接法的思想，先将z看成是已知量），其几何意义表示一条直线。因直线方程中最具有几何意义的是斜截式，故整理方程为y=z21x21，具体来说，它表示的是与直线y=x21平行的直线系，z21表示直线系在纵轴上的截距。第三步，平移此直线系，注意到此直线斜率比直线BC斜率大，故直线的倾斜角大于直线BC的倾斜角，所以当直线通过顶点C时，y轴上截得的截距最大。由05yx03yx得4y1x∴C（1，4）将C（1，4）代入y=2zx21得z=9第四步得到原问题的结论，目标函数z=x+2y的最大值为9。例2、在直角坐标系中画出不等式|x|+|y||x+y|表示的区域。解题思路分析：因|x|+|y|≥|x+y|对一切实数x、y恒成立，故去掉等号成立的条件即可。等号成立的条件为x与y同号或x、y中至少有一个为零。当x与y同号时，点（x，y）分布在第一或第三象限；当x·y=0时，点(x，y)在（第二或四象限）坐标轴上。故满足题设不等式的点在第二或四象限。例3、求设下列两个不等式同时成立的点（x，y）存在的区域的面积：（1）|y|≤2；（2）4x2+4xy+y2+4x+2y-3≤0解题思路分析：本题关键是第（2）个条件的几何意义。考虑用转化的思想，将二次问题降幂为一次问题，转化的手段是因式分解。4x2+4xy+y2+4x+2y-3=(2x+y)2+2(2x+y)-3=(2x+y-1)(2x+y+3)∴（2x+y-1）(2x+y+3)≤0∴-3≤2x+y≤1y≤-2∴y≥242x+y+3≥02x+y-1≤0作出可行域，如图平行四边形ABCD其面积S=2×4=8例4、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g，咖啡4g，糖3g；乙种饮料每杯含奶粉4g，咖啡5g，糖10g，已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，若每天原料的使用限额内饮料能全部售完，应配制两种饮料各多少杯获利最大？解题思路分析：第一步，通过列表方法理清各种量之间的关系：消耗量、原料成品奶粉（g）咖啡（g）糖（g）利润（元）甲种饮料（杯）9430.7乙种饮料（杯）45101.2限额360020003000第二步，设二元变量，列线性约束条件设每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则线性约束条件为：9x+4y≤36004x+5y≤20003x+10y≤3000x、y∈N第三步，作出可行域为阴影部分五边形OABCD第四步，列出目标函数，设利润为z（元）则z=0.7x+1.2y∴z56x127y这是与直线y=x127平行的直线系，z56表示该直线在y轴上的截距第五步，平移此直线，得到最优解∵10312754∴当直线z56x127y过点C（200，240）时，z56最大，即z最大。∴zmax=0.7×200+1.2×240=428（元）5第六步，回到实际问题中去∴每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，获利最大。例5、某运输公司有7辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，有9名驾驶员。在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青360t的任务。已知每辆卡车每天往返次数为A型8次，B型6次，每次运输成本为A型160元，B型252元，每天应派出A型、B型车各多少辆，能使公司总成本最低？解题思路分析：设派A型车x辆，B型车y辆，则A型车共运沥青6xt，B型车共运沥青10ytx+y≤9∴8·6x+6·10y≥3600≤x≤70≤y≤4，x、y∈N作出可行域如图阴影部分四边形ABCD设总成本为z元，则z=160x+252y∴z2521x6340y∵546340∴若x、y∈R，当直线2521x6340y，过A（7，0.4）时最小，但x、y∈N∴作出与点A靠近的整点：（7，1），（6，2），平移直线可知首先过（7，1）∴当x=7，y=1时，zmin=160×7+252×1=1372（元）此时共运输沥青8×6×7+6×10×1=396（吨）∴每天应派出A型车7辆，B型车1辆，总成本1372元最低，并能满足运输沥青的最低要求。五、同步练习（一）选择题1、若不等式x+4y-9≥0表示直线x+4y-9=06A、上方的平面区域B、下方的平面区域C、上方的平面区域（包括直线本身）D、下方的平面区域（包括直线本身）2、若θ∈)23,(，则不等式yxsinθ+1表示直线y=x·sinθ+1A、上方的平面区域B、下方的平面区域C、上方的平面区域（包括直线本身）D、下方的平面区域（包括直线本身）3、不等式x+(a-1)y+30表示直线x+(a-1)y+3=0A、上方的平面区域B、下方的平面区域B、当a1时，上方的平面区域D、当a1时，下方的平面区域4、若x≥0，y≥0，x+y≤1，则z=x-y的最大值是A、-1B、1C、2D、-25、若x+2y≤5，2x+y≤4，x≥0，y≥0，则z=3x+4y的最大值是A、9B、10C、11D、126、设R为平面上以A（4，1），B（-1，-6），C（-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y的最大值与最小值分别为A、最大值14，最小值-18B、最大值-14，最小值-18C、最大值18，最小值14D、最大值18，最小值-147、设a0，点集S中的点（x，y）满足下列所有条件：①2a≤x≤2a②2a≤y≤2a③x+y≥a④x+a≥y⑤y+a≥xA、4B、5C、6D、78、给出的平面区域如图，若使目标函数z=ax+y（a0）取得最小值的最优解有无穷多个，则a的值为A、41B、53C、53D、35（二）填空题9、已知点（3，1），（-4，6）在直线3x-2y+a=0两侧，则实数a的取值范围是______。x-4y≤-310、已知目标函数z=2x+y，变量x、y满足3x+5y25，则z的最小值是________。x≥1x-y+5≥011、不等式组x+y≥0表示的平面区域的面积是__________。x≤312、若不等式ax+(2a-1)y+10表示直线ax+(2a-1)y+1=0的下方区域，则a的取值范围是____________。13、若0≤x≤1，-1≤y≤2，则z=x+4y的最小值是__________。714、若x≥0，y≥0，2x+3y≤100，2x+y≤60，则z=6x+4y的最大值是__________。15、由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲线围成的几何图形面积是__________。（三）解答题16、某厂有一批长为2.5的条钢，要截成60cm长和42cm长的两种毛坯，怎样下料使损耗最小？17、某家具厂有方木料90cm3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售。已知生产每张书桌需方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌而获利80元，出售一个书橱可获利120元，怎样安排生产可使获利最大？18、求证：点P0(x0，y0)在直线：Ax+By+C=0（B0）上方的充要条件是Ax0+By0+C0。19、求在约束条件：2x+5y≥10，2x-3y≥-6，2x+y≤10下，z=x2+y2的最大值。20、已知函数f(x)=ax2-c，满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。六、参考答案（一）选择题1、C2、B3、C4、B5、C6、A7、C8、B（二）填空题9、-7a2410、311、412112、),21(13、-420015、2（三）解答题16、解：设截成x根60cm长、y根42cm长的毛坯0.6x+0.42y≤2.5则x≥0y≥0作出可行域，为阴影△OMN作出直线0.6x+0.42y=2.5即MN：121125y625x在MN下方，最靠近的整点为（2，3）∴当x=2，y=3时，材料利用率为%4.985.242.036.02此时最低损耗为0.6%17、解：设生产书桌x张，书橱y个0.1x+0.2y≤90则约束条件为2x+y≤6008x≥0，y≥0设利润为z元，则目标函数z=80x+120y画出可行域，平移直线y=120zx32可知，当直线过0.1x+0.2y=90与2x+y≤60的交点（100，40）时，120z最大，即z最大。∴当x=100，y=400时，znax=5