高二数学选修4-4教案05曲线的参数方程

高二数学选修4-4教案05曲线的参数方程教学目标：正确理解曲线参数方程的概念；能准确地选取参数求曲线的参数方程教学重点：参数方程的概念；教学难点：参数t可以是有物理、几何意义的变量，也可以是变数；建立参数t与x,y的关系教学过程一、问题引入设炮弹的发射角为，发射的初速度为0v，求弹道曲线的方程（不计空气阻力）因为弹道曲线是炮弹飞行的轨迹，所以它上面的各个点都表示炮弹发射后某个时刻的位置。当这个时刻确定后，炮弹的位置就确定了。取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系。设炮弹发射后的位置在M(x,y)，因为炮弹在Ox方向是以0vcos为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以0vsin为初速的竖直上抛运动。按匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得,21sin,cos200gttvytvxg是重力加速度。课本中炮弹的飞行轨迹是学生在物理学习中极为熟悉的“斜抛运动”的一个实例．教学中不必过多解释，重点在于利用它，从数学的角度说明力学中的运动方程就是数学中的参数方程．它们是实际研究的需要，便于表示两个变量之间的联系．同时由于参数t有一定取值范围，导致x、y也有一定的取值范围．在具体研究中，参数t可以是有物理、几何意义的变量，也可以是变数．关键是t与点（x、y）能否构成对应关系．同时，学生应认识到引进参数t可以起到减少变量个数的作用，给研究多变量问题以一个新的方法．二、数学构建1、曲线的参数方程0v0vcos0vsinxyOM一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即)()(tfytfx并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数.注意：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系.2、曲线的普通方程相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程．三、知识运用【例1】如图所示，以原点为圆心，分别以a,b(ab)为半径作两个圆。点Q是大圆半径OP与小圆的交点，过点P作PN⊥Ox，垂足为N，过点Q作QM⊥PN，垂足为M。求当半径OP绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。解：设点M的坐标是（x，y），是以Ox为始边，OP为终边的正角，去为参数，那么x=ON=|OP|cos,y=NM=|OQ|sin.也就是.sin,cosbyax这就是所求的M点的轨迹的参数方程。本例给出了椭圆的一个参数方程，两个圆分别叫做椭圆的大辅助图和小辅助图，椭圆长轴和短轴分别是它们的直径．其中叫做椭圆上点的离心角．椭圆上只有个别点（如椭圆的顶点）的离心角与中心角相等．一般点的中心角与离心角不同．两个点离心角的差与中心角的差也不同．因与椭圆上的点一一对应，椭圆上点可表示为P(acos、bsin)，起到减少变量个数的效果．【例2】求经过点000,yxM，倾斜角是的直线l的参数方程。xyOPabQMN例1图解：设M（x，y）是直线上任意一点，经过M作y轴的平行线，经过000,yxM点作x轴的平行线，两直线相交于点Q。规定直线l向上的方向为正方向。设tMM0，取t为参数。则有.sin,cos00tyytxx这就是所求直线l的参数方程。一条直线规定了方向和原点后，只要一个变量就可以表示直线上点的位置．(例如x轴)当直线位于平面内时，表示直线上点的位置，除了一个变量外，还需对直线本身位置的刻画，直线参数方程，sincostyytxx，中（yx，）及就是对直线自身位置的描述，t是对直线上点的位置的描述．【例3】tytx212235与tytx235，是否表示同一条直线．此例可使学生明确以下几点：①曲线的参数方程可能不唯一．②两个方程均表示直线03253yx．两个方程中的参数的意义不同，取相同的t，对应的点可能不同，但t取全体实数时，所对应的点集相同．③判断方程btyyatxx中t的几何意义是否为定点(x0，y0)到动点P(x，y)的数量，有二个原则，其一为a2＋b2=1，其二是b≥0，这是因为为直线倾角时，必有sin2+cos2=1及sin≥0．④btyyatxx00上A，B两点间距离为2122ttbaAB．上述方程中通过换元22'batt（当b≥0），可知t’的几何意义就是定点(x0，y0)到动点(x，y)的数量，其上两点间距离即为21tt．xy000,yxMM（x，y）tOQ例2图⑤通过计算：abatbtxxyy00，使学生知道(x0，y0)必为直线上的点，ab等于直线的斜率．疑难解析:方程btyyatxx00，（t为参数）中x0、y0及a、b的几何意义，及如何将它化为以定点(x0、y0)到动点(x，y)的数量t为参数的参数方程是学生学习的疑难之处．可以通过数字系数的方程为例加以解释．，如tytx3241，令t=0，得到点(1，2)，进而说明(x0、y0)是直线上的一个点，即直线必过点(x0、y0)．由434312ttxy，得知此直线的斜率为43，进而说明直线上任意点(x，y)与点(x0、y0)连线的斜率为ab．如果直线倾角为，则有tan=abk．由三角知识可知2222sincosbabbaa由于0≤＜，sin≥0，可知当b≥0时，用22'batt，当b＜0时，用22'batt可将方程，化为t为定点到动点数量的直线的参数方程．四、学力发展1、求半径是r、圆心在原点O的圆的参数方程。解：为参数）(sincosryrx1、已知一条直线上两点111,yxM、222,yxM，以分点M（x，y）分21MM所成的比为参数，写出参数方程。解：112121yyyxxx2、直线tytx211233(t为参数)的倾斜角是(C)A．6B．3C．65D．323、方程sin3cos1tytx（t为非零常数，为参数）表示的曲线是(B)A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线4、已知椭圆的参数方程是sin4cos5yx（为参数），则椭圆上一点P(25，32)的离心角可以是(D)A．3B．32C．34D．35五、课堂小结1、参数方程的概念；2、参数的选择。3、直线的参数方程.sin,cos00tyytxx和方程btyyatxx00，（t为参数）中x0、y0及a、b的几何意义。附：教材分析一、教学内容与教学目标：本单元教学内容：曲线参数方程的概念，直线、圆、椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化．本单元教学目标：使学生理解参数方程的概念，初步掌握直线、圆、椭圆的参数方程．理解参数的几何或物理意义．掌握参数方程与普通方程互化的方法，会根据给出的参数，建立曲线的参数方程．结合曲线参数方程的建立，对学生进行运动变化观点的教育，结合参数方程与普通方程的互化，使学生加深对等价转化思想的理解，提高转化中逻辑关系的认识，提高逻辑思维能力，提高利用参数解决问题的能力．二、重难点分析：本节的重点是参数方程的概念，直线、圆、椭圆的参数方程，参数方程和普通方程互化的方法．本节的难点是直线和椭圆参数方程中参数的几何意义，互化中的等价性也是学生学习的难点．教学中应明确，参数需要根据实际问题的性质及图形特点决定．学生只要掌握教材中给出的几种方程中参数的几何意义就可以了．作为互化中的取值范围，在课本中未作要求，但实际解决问题中，它又是无法回避的事情，教学中以要求学生理解原理为主，具体操作上应明确，重在整体范围改变的研究，淡化个别点的研究．不要求用参数方程求曲线的交点．三、知识系统及其结构：平面直角坐标系曲线的普通方程曲线的参数方程互化