高代复习,从零开始【糕二出品】第四版

第二章行列式1.逆序数对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列为偶排列，逆序数为奇数的排列为奇排列。2.行列式定义：行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|3.行列式性质（计算）：1.行列式和它的转置行列式相等。将原行列式的每一行作为列构成的行列式即转置行列式2.行列式中某一行元素的公因数可以提到行列式符号的外边来。或者说，用一个数来乘行列式，可以把这个数乘到行列式的某一行上。3.若果行列式中有一行元素全为零，则行列式的值为零。4.交换行列式两行，行列式仅改变符号。5.若行列式中有两行完全相同，则这个行列式的值为零。6.若行列式有两行的对应元素成比例，则这个行列式等于零。7.把行列式某一行的元素乘以同于个数后加到另一行的对应元素上，行列式不变。初等行变换and初等列变换初等行变换的用途:【初等行变换性质即以上7条】1.求矩阵的秩,化行阶梯矩阵,非零行数即矩阵的秩同时用列变换也没问题,但行变换就足够用了!2.化为行阶梯形求向量组的秩和极大无关组(A,b)化为行阶梯形,判断方程组的解的存在性3.化行最简形把一个向量表示为一个向量组的线性组合方程组有解时,求出方程组的全部解求出向量组的极大无关组,且将其余向量由极大无关组线性表示4.求方阵的逆(A,E)--(E,A^-1)解矩阵方程AX=B,(A,B)--(E,A^-1B)初等列变换很少用,只有几个特殊情况:1.线性方程组理论证明时:交换系数矩阵部分的列便于证明2.求矩阵的等价标准形:行列变换可同时用3.解矩阵方程XA=B:对[A;B]'只用列变换4.用初等变换求合同对角形:对[A;E]'用相同的行列变换4.行列式按一行（列）展开更多例题见行列式展开.ppt行列式中的余子式在n阶行列式中,把所在的第I行与第J列划去后,所留下来的n-1阶行列式叫原的余子式.记作代数余子式定义的代数余子式:行列式与代数余子式的关系行列式的代数余子式表达行列式等于它任意一行(列)的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和.【其中D表示行列式】子式和余子式在线性代数中，一个矩阵A的余子式（又称余因式）是指将A的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式。相应的方阵有时被称为余子阵。将方阵A的一行与一列去掉之后所得到的余子式可用来获得相应的代数余子式，后者在可以通过降低多阶矩阵的阶数来简化矩阵计算，并能和转置矩阵的概念一并用于逆矩阵计算。不过应当注意的是，余子式和代数余子式两个概念的区别。在数值上，二者的区别在于，余子式只计算去掉某行某列之后剩余行列式的值，而代数余子式则需要考虑去掉的这一个元素对最后值正负所产生的影响。5.克拉默法则假若有n个未知数，n个方程组成的方程组：或者写成矩阵形式为Ax=b，其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|，其中Ai〔i=1，2，……，n〕是矩阵A中第i列的a1i，a2i，……ani（即第i列）依次换成b1，b2，……bn所得的矩阵。克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。当b1,b2,...,bn不全为0时，方程组为非齐次性方程组。系数矩阵A非奇异时，或者说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；系数矩阵A奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解或无解。当b1=b2=...=bn=0时，方程组为齐次性方程组。若系数矩阵A非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，我们通常称这个解为平凡解。若齐次线性方程组有非零解，系数矩阵必然奇异，或者说对应的系数行列式必为0。6.拉普拉斯定理与行列式的乘法见拉普拉斯定理与行列式的乘法.ppt矩阵与行列式的区别1.矩阵是一个表格，行数和列数可以不一样;而行列式是一个数，且行数必须等于列数。只有方阵才可以定义它的行列式，而对于长方阵不能定义它的行列式。2.两个矩阵相等是指对应元素都相等;两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不一样，只要运算代数和的结果一样就行了。3.两矩阵相加是将各对应元素相加;两行列式相加，是将运算结果相加，在特殊情况下(比如有行或列相同)，只能将一行(或列)的元素相加，其余元素照写。4.数乘矩阵是指该数乘以矩阵的每一个元素;而数乘行列式，只能用此数乘行列式的某一行或列，提公因数也如此。5.矩阵经初等变换，其秩不变;行列式经初等变换，其值可能改变:换法变换要变号，倍法变换差倍数;消法变换不改变。【行列式计算】见行列式计算方法小结.ppt第三章线性方程组1.消元法消元法求解线性方程组的过程,实际上就是对该方程组的增广矩阵施以仅限于行的初等变换(初等行变换)的过程.以后在求解线性方程组时,仅写出增广矩阵的变换过程即可.定理3.1线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(A,b)=r(A).且当r(A,b)=n时有唯一解;当r(A)n时,有无穷多解。2.n维向量空间2.线性相关性3.向量组间的关系4.向量组的最大无关组5.矩阵的秩6.线性方程组有解判别定理推论：齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式等于零。7.线性方程组解的结构第四章：矩阵1.定义：矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。2.性质：（运算）矩阵的最基本运算包括矩阵加（减）法，数乘和转置运算。被称为“矩阵加法”、“数乘”和“转置”的运算不止一种。（矩阵加法）给出m×n矩阵A和B，可定义它们的和A+B为m×n矩阵，而i,j项(A+B)[i,j]=A[i,j]+B[i,j]。（矩阵乘法【矩阵乘以实数】）若给出一矩阵A及一数字c，可定义标量积（数量积）cA，其中(cA)[i,j]=cA[i,j]。（矩阵乘法【矩阵乘以矩阵（有条件）】）若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们是乘积AB是一个m×p矩阵，其中(AB)[i,j]=A[i,1]*B[1,j]+A[i,2]*B[2,j]+...+A[i,n]*B[n,j]对所有i及j。此乘法有如下性质：(AB)C=A(BC)对所有k×m矩阵A,m×n矩阵B及n×p矩阵C(结合律).(A+B)C=AC+BC对所有m×n矩阵A及B和n×k矩阵C(分配律).C(A+B)=CA+CB对所有m×n矩阵A及B和k×m矩阵C(分配律).要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵A及B使得AB≠BA。对其他特殊乘法，见矩阵乘法。（其他性质）矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：以Rn表示n×1矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换f:Rn-Rm都存在唯一m×n矩阵A使得f(x)=Ax对所有x∈Rn。这矩阵A代表了线性变换f。另有k×m矩阵B代表线性变换g:Rm-Rk，则矩阵积BA代表了线性变换gof。矩阵A代表的线性代数的映像的维数称为A的矩阵的秩。矩阵的秩亦是A的行（或列）生成空间的维数。（转置）m×n矩阵A的转置是由行列交换角式生成的n×m矩阵Atr（亦纪作AT或tA），即对所有i和jAtr[i,j]=A[j,i]。若A代表某一线性变换则Atr表示其对偶算子（对偶空间构造是行向量(1×n)与列向量(n×1)的关系的抽象化，对偶算子即在各自对偶空间做同一操作）。转置有以下特性：(A+B)tr=Atr+Btr，(AB)tr=BtrAtr。【即两矩阵的和矩阵的转置矩阵等于两个矩阵的转置矩阵和】【矩阵运算】3.矩阵乘积的行列式与秩4.矩阵的逆1.定义E为n级单位矩阵，即除了对角线外的数都是0，对角线上都是1的矩阵5.矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.更多例题见分块矩阵.ppt6.初等矩阵1定义定义2由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。注意：初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵，且),(),(1jiPjiP，))(())((11ciPciP，))(,())(,(1kjiPkjiP。第五章二次型知识考点精要1.二次型及其矩阵表示（1）二次型设P是一数域，一个系数在数域P中的12,,.....,nxxx的二次齐次多项式2221211112121122222(,,)222nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxaxxax称为数域P上的一个n元二次型。（2）二次型矩阵设12(,,)nfxxx是数域P上的n元二次型，12(,,)nfxxx可写成矩阵形式12(,,)nfxxx'XAX其中x='12(,,)nxxx，A='(),ijnnaAA。A称为二次型12(,,)nfxxx的矩阵。秩（A）称为二次型12(,,)nfxxx的秩。（3）矩阵的合同数域P上nn矩阵A,B称为合同的，如果有属于P上可逆的nn矩阵C，使'BCAC2．标准型及规范性定理数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型2221122nndydydy用矩阵的语言叙述，即数域P上任意一个对称矩阵合同于一个对角矩阵。定理任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型22212.....rzzz且规范形是唯一的。定理任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型222211.........pppqzzzz且规范形是唯一的，其中p称为此二次型的正惯性指数，q称为此二次型的负惯指数，2p-q称为此二次型的符号差。3.正定二次型及正定矩阵（1）基本概念i）正定二次型实二次型12(,,)nfxxx称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,...nccc,都有12(,,...)0.nfcccii）正定矩阵实对称矩阵A称为正定的，如果二次型'XAX正定。iii）负定半正定半负定不定的二次型设12(,,)nfxxx是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数12,,...nccc,如果12(,,...)0.nfccc，那么12(,,)nfxxx称为负定的；如果都有12(,,...)0.nfccc那么称12(,,)nfxxx为半正定的；如果都有12(,,...)0.nfccc，那么12(,,)nfxxx称为半负定的；如果它既不是半正定的又不是半负定的，那么12(,,)nfxxx就称为不定的。（2）正定二次型，正定矩阵的判定对于实二次型12(,,)nfxxx='XAX，其中A是实对称的，下列条件等价;i)12(,,)nfxxx是正定的，i)A是正定的iii)12(,,)nfxxx的正惯指数为niv）A与单位矩阵合同v）A的各阶顺序主子式大于零