高中数学完整讲义二项式定理4.二项式定理的应用1证明整除或求余数

高中数学讲义1思维的发掘能力的飞跃1．二项式定理⑴二项式定理011222...nnnnnnnnnnabCaCabCabCbnN这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nnnnnnnnnCaCabCabCb叫做nab的二项展开式，其中的系数0,1,2,...,rnCrn叫做二项式系数，式中的rnrrnCab叫做二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第1r项：1rnrrrnTCab．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式nab的展开式项数为1n项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n．②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．⑷几点注意①通项1rnrrrnTCab是nab的展开式的第1r项，这里0,1,2,...,rn．②二项式nab的1r项和nba的展开式的第1r项rnrrnCba是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．③注意二项式系数（rnC）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是nab这个标准形式下而言的，如nab的二项展开式的通项公式是11rrnrrrnTCab（只须把b看成b代入二项式定理）这与1rnrrrnTCab是不同的，在这里对应项的知识内容证明整除或求余数高中数学讲义2思维的发掘能力的飞跃二项式系数是相等的都是rnC，但项的系数一个是1rrnC，一个是rnC，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,abx，则得公式：12211......nrrnnnnxCxCxCxx．⑥通项是1rTrnrrnCab0,1,2,...,rn中含有1,,,,rTabnr五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：nab展开式的二项式系数是：012,,,...,nnnnnCCCC，从函数的角度看rnC可以看成是r为自变量的函数fr，其定义域是：0,1,2,3,...,n．当6n时，fr的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n时fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式mnmnnCC得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是高中数学讲义3思维的发掘能力的飞跃01211,,112nnnnnnCCC，312123nnnnC，．．．，112...2123....1knnnnnkCk，12...21123...1knnnnnknkCkk，．．．，1nnC．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...nnn），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时，rnC的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n是偶数时，1n是奇数，展开式共有1n项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnC．当n是奇数时，1n是偶数，展开式共有1n项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122nnnnCC．③二项式系数的和为2n，即012......2rnnnnnnnCCCCC．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2nnnnnnnCCCCCC．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项式定理的应用1证明整除或者求余数【例1】利用二项式定理证明：是64的倍数．【例2】若，证明：能被整除．22389nn*nN2332437nn64典例分析高中数学讲义4思维的发掘能力的飞跃【例3】证明：能被整除．【例4】证明：能被整除．【例5】⑴除以的余数________；⑵除以的余数是__________；⑶除以的余数是．【例6】的末尾连续零的个数是（）A．7B．5C．3D．222(13)(13)(*)nnnN12n2121(13)(13)(*)nnnN12n30237555515820001991310100111