高层筏箱基础地基反力与工程实例

2019/12/141高层建筑筏形与箱形基础的地基反力中国建筑科学研究院钱力航2008年4月北京2019/12/142地基反力的确定是高层建筑箱形基础设计计算中的一个重要问题。实验表明，影响地基反力分布形式的因素较多，如基础和上部结构的刚度，建筑物的荷载分布及其大小，基础的埋置深度，基础平面的形状和尺寸，有无相邻建筑物的影响，地基土的性质（如土的类别、非线性、蠕变性等）、施工条件（如施工引起的基底土的扰动）等。2019/12/143对于柔性基础，由于其刚度很小，在竖向荷载作用下没有抵抗弯曲变形的能力，能够随着地基一起变形。因此，地基反力的分布与作用于基础上的荷载分布是一致的。2019/12/144刚性基础受荷后基础不发生挠曲，且地基与基础的变形协调一致。因此，在中心荷载作用下地基表面各点的竖向变形值相同。理论计算与试验均表明，轴心受荷时刚性基础典型的地基反力分布曲线形式有：（a）凹抛物线形；(b)马鞍形；(c)凸抛物线形；(d)钟形。如图所示。2019/12/145当荷载较小时，反力分布曲线呈凹抛物线或马鞍形；随着荷载的增大，位于基础边缘部分的地基土产生塑性变形区，边缘地基反力不再增大，而增加的荷载则由中间的土体承担，所以中间部分的地基反力继续增大，分布曲线逐渐由马鞍形变为抛物线形；当荷载接近地基土的破坏荷载时，反力分布曲线又由抛物线形变成钟形。2019/12/146在实际工程箱形基础地基反力测试中，常见的地基反力分布曲线是凹抛物线形和马鞍形，一般难以见到凸抛物形和钟形。主要原因是实际工程测试时地基承受的荷载很难达到考虑各种因素的设计荷载值，同时，设计采用的地基承载力也有一定的安全系数，因此，地基难以达到临塑状态。测试还表明：地基反力分布一般是边端大、中间小，反力峰值位于边端附近；并且，基础的刚度越大，反力越向边端集中。2019/12/147地基反力的大小及分布形状是决定箱形基础内力的最主要因素之一，它不仅决定内力的大小，在某些情况下甚至可以改变内力（主要是整体弯矩）的正负号。当然,这种说法只是在不按照上部结构-地基-基础共同作用计算的情况下是正确的.正是由于地基反力计算的重要性及复杂性，国内外许多学者对此做了大量研究工作，提出了多种计算方法。每种计算方法采用的基本假定或地基计算模型不尽相同，因而计算结果也不尽相同。2019/12/148常用的地基反力计算方法反力直线分布法；文克尔（Winkler）基床系数法；弹性半空间地基模型计算法：日莫奇金链杆法葛尔布诺夫一伯沙道夫级数法有限压缩层地基模型的计算法；有限单元法；实测反力系数法……2019/12/149反力直线分布2019/12/1410弹性地基梁、板理论分析法弹性地基梁、板理论简而言之就是假定地基是弹性体，假定基础是置于这一弹性体上的梁或板。将基础和地基作为一个整体来研究，把它与上部结构隔断开来，上部结构仅仅作为一种荷载作用在基础上。基础底面和地基表面在受荷而变形的过程中始终是贴合的，亦即二者不仅满足静力平衡条件，而且满足变形协调条件。然后经过种种几何上和物理上的简化，用数学力学方法求解基础和地基的内力和变形。2019/12/1411所谓几何上和物理上的简化，常常是将整个箱形或筏形基础简化成一根梁或一块板，或者从中取一单位宽度（常常是取1m）的“截条”按“平面问题”进行解算。梁的长度则有“有限长”的或“无限长”的。梁的刚度又有“有限刚度”的及“绝对刚性”的假定。而最重要的简化则是地基的简化，也就是将地基简化成什么样的“地基模型”是至关重要的。因为采用不同的地基模型进行计算，基础梁、板将会得到不同的内力和变形，它不仅影响内力的大小，甚至会改变内力的正负号。2019/12/1412确切地说,”地基模型”就是地基的应力与应变关系的数学表达式，也就是地基中力与变形之间的数学关系。经典土力学论及的地基模型都是弹性模型，即应力与应变之间的关系呈直线关系（图1-5a）。弹性模型主要有文克尔模型和半无限弹性体模型。近代土力学则主要论述弹塑性模型，将地基土的应力与应变之间的关系描述成非线性关系（图1-5b）。比较常见的有邓肯——张模型、拉德——邓肯模型、剑桥模型等。2019/12/1413图1-5地基的应力与应变关系(a)理想弹性土；(b)理想塑性土；(c)实际土2019/12/1414无论弹性模型还是弹塑性模型都有丰硕的研究成果，致使地基模型达到一百种以上。但真正能进入工程实用阶段的仍然为数不多。而且在我国工程界普遍采用的还是弹性地基模型，如半无限弹性体模型和其派生出来的分层总和地基模型以及文克尔模型等。尽管如此，由于同一地基模型上的基础梁板又有许多数学解法，从而形成了弹性地基梁板理论的丰富内容。2019/12/1415文克尔地基上的基础梁板1867年捷克人文克尔（E.Winkler）提出一个非常著名的假定：地基表面任一点的沉降Ｗ与该点单位面积上所受的压力p成正比。其数学表达式为：p=kW(1-2)式中k——基床系数，表示使地基产生单位沉降所需的单位面积上的压力。2019/12/1416文克尔假定亦即文克尔模型，符合这一假定的地基亦称文克尔地基。它实质上是把地基模拟为刚性底座上一系列独立的弹簧。所以当地基表面上某一点受到压力时，只在该点产生沉降。亦即在荷载作用下，地基的变形只发生在基础底下，基础范围以外的土不产生任何变形（图1-6）。2019/12/1417图1-6文克尔地基模型示意2019/12/1418文克尔地基上梁的计算，首先应建立基础梁挠曲的基本微分方程。该梁的挠度为W(x)，梁所承受的荷载为q(x)，地基的反力为p(x)，如图所示。不论是否在文克尔地基上，梁的一般挠曲微分方程为：(1-3)式中E——梁的材料弹性模量；I——梁的截面惯性矩。)()(44xpxqdxwdEI2019/12/1419对于文克尔地基上的梁，根据梁的挠曲与地基变形协调的原则，地基的沉降变形与梁的挠度W(x)相等；根据静力平衡原则，地基的压力与地基给予梁的反力等值，均为p(x)。这样一来，按照文克尔假定的压力与沉降变形的关系，将公式（1-2）代入公式（1-3），可得：（1-4）本式即为文克尔地基上梁的基本微分方程。式中W(x)为欲求解的未知量，E、I、q(x)、k为已知量。其中基床系数k是可以通过试验得到的。求解公式（1-4）的种种方法，在拙著高层建筑形箱与筏形基础的设计计算其他书中都有叙述。)(44xqkwdxwdEI2019/12/1420求得W(x)以后，即可求得梁的任意截面的转角θ，弯矩M和剪力Q：(1-5a)dxdw22dxwdEIdxdQEIM33dxwdEIdxdMQ(1-5b)(1-5c)2019/12/1421文克尔地基上的基础板，一是取单位宽度的截条，按基础梁的方式处理。二是按弹性薄板的弯曲问题求解。求解的思路与基础梁相似。首先应采用一些假定，建立基础板的受力图式，继而根据弹性力学和文克尔假定建立基础板的基本微分方程。例如各向同性基础板的微分方程为一关于弹性曲面W(x,y)的线性非齐次四阶偏微分方程，即(1-6)kwyxqywyxwxwD),(244224442019/12/1422式中W—弹性曲面挠度，也即地基的表面沉降；k—基床系数；q(x，y)—荷载；D—薄板截面的弯曲刚度，其值为：（1-7）式中Eh——薄板材料的弹性模量；h——板的厚度；μ——泊松比。在公式(1-6)中，需要求解的未知函数是板的挠度W(x,y)。求得挠度以后，与基础梁一样，可以通过二次或三次偏微分求得板截面的弯矩、扭矩和剪力。在实用上求解公式（1-6）一般采用近似方法或数值方法，尤以数值方法为主，如有限差分法或有限单元法。具体解这里也不详述。kwyxqywyxwxwD),(24422444)1(1223hEDh2019/12/1423一般认为文克尔假定比较适合于基岩埋藏较浅、地基土层较薄的情况。B.A.弗洛林认为：“当土的粘性越低、建筑物的尺寸越小、埋置深度越浅、建筑物传给地基的单位面积上的压力越大时，采用基床系数法越有较好的根据”。2019/12/1424半无限弹性体上的基础梁板如前所述，文克尔地基的变形只发生在基础底下，基础范围以外的土不发生任何变形。这显然与实际状况是不符合的（图1-6c）。因而必然造成计算结果与实际状况的误差。半无限弹性体地基模型则假定地基为均质、连续、弹性的半无限体。在半无限体的表面受到荷载时，则在表面上的任一点都将产生沉降，当然离开荷载作用点越远，沉降值就越小，距离趋于无穷大，沉降就趋于零。应该说，半无限弹性体模型较文克尔模型更接近实际。2019/12/1425为便于学习，我们仅以半无限弹性体上的梁为例进行说明。并且把问题局限在平面应力状态，充分运用弹性理论的已有公式和结论，省去繁琐的推导，仅给大家一个明确的思路。因为不论是筏形基础还是箱形基础，常常也是允许简化为基础梁来考虑的。对于基础板，求解的思路也是一样的，而且也可以简化为平面问题来来计算。2019/12/1426求解弹性地基梁板的基本思路可以归纳如下：1根据不同的地基模型建立地基压力与沉降关系的数学表达式；2写出梁或板的一般挠曲微分方程，其中的挠度和反力项是欲求解的未知函数；3根据变形协调和静力平衡条件，基础梁板的挠度即为地基的沉降，基础梁板受到的地基反力与梁板给予地基的压力等值。这样一来，即可将1中的地基压力代入2中的地基反力项，于是得到基础梁板的基本挠曲微分方程。4运用各种数学方法（包括数值方法和有限单元法）求解基本微分方程，即可得到梁板的挠度和反力，然后根据梁板的挠度和反力求解梁板的内力。2019/12/1427现在回到半无限弹性体上的梁的平面应力问题。设地基为半无限弹性平面体，其厚度为1，并设地基处于平面应力状态。在该平面体的表面作用集中力P（图1-8）。以D点（与力作用点的距离为d）为基点，则表面上任一点（与力作用点的距离为r）对基点的相对沉降为：（1-8）rdEPWoln22019/12/1428图1-8集中力P作用下图1-9任意分布荷载作地基表面的沉降地基表面的沉降2019/12/1429根据公式（1-8）可以推导出在任意分布荷载作用下（图1-9）地基表面（即半无限弹性平面体的表面）的沉降计算公式：（1-9）将公式（1-9）代入梁的一般挠曲微分方程（1-3），则可得半无限弹性平面体上梁的基本方程：（1-10）式中的地基反力p(x)为欲求解的未知函数。drrxqrrxDdrrxqrrxDExwWxloxloo)(ln)(ln)(2EIxpxqdrrxprrxDdrrxprrxDdxdExloxloo)()()(ln)(ln244（1-10）2019/12/1430对于平面应变问题，梁的基本方程为：(1-11)式中μ0、μ分别为地基土和基础梁材料的泊桑比。对于空间问题同样可以列出关于p(x)的微分积分方程，此处从略。EIxpxqdrrxprrxDdrrxprrxDdxdEoxloxlooo)]()()[1()(ln)(ln)1(224422019/12/1431梁的静力平衡条件可以记为:(1-12a)(1-12b)对于某一特定的梁，求解公式（1-10）或（1-11）尚应满足其边界条件。求出基底反力p(x)以后，即可求出梁的内力。诚然，求解关于反力函数p(x)的微分积分方程（1-10）或（1-11）是非常困难的。在工程实用上，一般采用Б·Н·热摩奇金的链杆法[11]、М·И·葛尔布诺夫-伯沙道夫的级数法[12]或有限单元法进行求解，可以参见相关书籍.dxxpdxxqF)()(:0ll-ll-xdxxpxdxxqM)()(:0ll-ll-2019/12/1432分层总和地基上的箱