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开平方根开平方根1目录1.开平方根........................................................................................................................................22.开平方根说明................................................................................................................................8开平方根21.开平方根我们平时经常会有一些数据运算的操作，需要调用sqrt，exp，abs等函数，那么时候你有没有想过：这个些函数系统是如何实现的？就拿最常用的sqrt函数来说吧，系统怎么来实现这个经常调用的函数呢？虽然有可能你平时没有想过这个问题，不过正所谓是“临阵磨枪，不快也光”，你“眉头一皱，计上心来”，这个不是太简单了嘛，用二分的方法，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果大了，就再试左区间的中间数；如果小了，就再拿右区间的中间数来试。比如求sqrt(16)的结果，你先试（0+16）/2=8，8*8=64，64比16大，然后就向左移，试（0+8）/2=4，4*4=16刚好，你得到了正确的结果sqrt(16)=4。然后你三下五除二就把程序写出来了：//用二分法floatSqrtByBisection(floatn){//小于0的按照你需要的处理if(n0)returnn;floatmid,last;floatlow,up;low=0,up=n;mid=(low+up)/2;do{if(mid*midn)up=mid;elselow=mid;last=mid;mid=(up+low)/2;}//精度控制开平方根3while(abs(mid-last)eps);returnmid;}然后看看和系统函数性能和精度的差别（其中时间单位不是秒也不是毫秒，而是CPUTick，不管单位是什么，统一了就有可比性）。二分法和系统的方法结果上完全相同，但是性能上整整差了几百倍。为什么会有这么大的区别呢？难道系统有什么更好的办法？难道。。。。哦，对了，回忆下我们曾经的高数课，曾经老师教过我们“牛顿迭代法快速寻找平方根”，或者这种方法可以帮助我们，具体步骤如下。求出根号a的近似值：首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：(4+2/4)/2=2.25(2.25+2/2.25)/2=1.56944..(1.56944..+2/1.56944..)/2=1.42189..(1.42189..+2/1.42189..)/2=1.41423......这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。相关的代码如下：floatSqrtByNewton(floatx){//最终floatval=x;//保存上一个计算的值floatlast;开平方根4do{last=val;val=(val+x/val)/2;}while(abs(val-last)eps);returnval;}牛顿迭代法性能提高了很多，可是和系统函数相比，还是有这么大差距，这是为什么呀？想啊想啊，想了很久仍然百思不得其解。突然有一天，我在网上看到一个神奇的方法，于是就有了今天的这篇文章，废话不多说，看代码先：floatInvSqrt(floatx){floatxhalf=0.5f*x;inti=*(int*)&x;//getbitsforfloatingVALUEi=0x5f375a86-(i1);//givesinitialguessy0x=*(float*)&i;//convertbitsBACKtofloatx=x*(1.5f-xhalf*x*x);//Newtonstep,repeatingincreasesaccuracyx=x*(1.5f-xhalf*x*x);//Newtonstep,repeatingincreasesaccuracyx=x*(1.5f-xhalf*x*x);//Newtonstep,repeatingincreasesaccuracyreturn1/x;}这次真的是质变了，结果竟然比系统的还要好。到现在你是不是还不明白那个“鬼函数”，到底为什么速度那么快吗？不急，先看看下面的故事吧：Quake-IIIArena(雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错，而且即使计算机配置低，也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马开平方根5克（JohnCarmack）。事实上早在90年代初DOS时代，只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候，JohnCarmack就推出了石破天惊的CastleWolfstein,然后再接再励，doom,doomII,Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效，几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见，修改了不少API。最近，QUAKE的开发商IDSOFTWARE遵守GPL协议，公开了QUAKE-III的原代码，让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。这是QUAKE-III原代码的下载地址：=7547。我们知道，越底层的函数，调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数（在game/code/q_math.c），必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数，很多都令人惊奇，估计我们几年时间都学不完。在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍：floatQ_rsqrt(floatnumber){longi;floatx2,y;constfloatthreehalfs=1.5F;x2=number*0.5F;y=number;i=*(long*)&y;//evilfloatingpointbitlevelhackingi=0x5f3759df-(i1);//whatthefuck?y=*(float*)&i;y=y*(threehalfs-(x2*y*y));//1stiteration//y=y*(threehalfs-(x2*y*y));//2nditeration,thiscanberemoved#ifndefQ3_VM#ifdef__linux__assert(!isnan(y));//bk010122-FPE?#endif#endifreturny;开平方根6}函数返回1/sqrt(x)，这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。注意到这个函数只用了一次叠代！（其实就是根本没用叠代，直接运算）。编译，实验，这个函数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt()函数快4倍！要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！这个简洁的函数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了“whatthefuck?”的一句：i=0x5f3759df-(i1);再加上y=y*(threehalfs-(x2*y*y));两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是定点移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。没错，一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df来计算那个猜测值，就是我们加注释的那一行，那一行算出的值非常接近1/sqrt(n)，这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。好吧如果这个还不算NB，接着看：普渡大学的数学家ChrisLomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近,0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了...谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。开平方根7Lomont为此写下一篇论文，FastInverseSquareRoot。论文下载地址：~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf，。最后，给出最精简的1/sqrt()函数：floatInvSqrt(floatx){floatxhalf=0.5f*x;inti=*(int*)&x;//getbitsforfloatingVALUEi=0x5f375a86-(i1);//givesinitialguessy0x=*(float*)&i;//convertbitsBACKtofloatx=x*(1.5f-xhalf*x*x);//Newtonstep,repeatingincreasesaccuracyreturnx;}大家可以尝试在PC机、51、AVR、430、ARM、上面编译并实验，惊讶一下它的工作效率。前两天有一则新闻，大意是说RyszardSommefeldt很久以前看到这么样的一段code(可能出自QuakeIII的sourcecode)：floatInvSqrt(floatx){floatxhalf=0.5f*x;inti=*(int*)&x;i=0x5f3759df-(i1);x=*(float*)&i;x=x*(1.5f-xhalf*x*x);returnx;}他一看之下惊为天人，想要拜见这位前辈高人，但是一路追寻下去却一直找不到人；同时间也有其他人在找，虽然也没找到出处，但是ChrisLomont写了一篇论文(inPDF)解析这段开平方根8code的算法(用的是Newton’sMethod，牛顿法；比较重要的是后半段讲到怎么找出神奇的0x5f3759df的)。PS.这个function之所以重要，是因为求开根号倒数这个动作在3D运算(向量运算的部份)里面常常会用到，如果你用最原始的sqrt()然后再倒数的话，速度比上面的这个版本大概慢了四倍吧…XDPS2.在他们追寻的过程中，有人提到一份叫做MITHACKMEM的文件，这是1970年代的MIT强者们做的一些笔记(hackmemo)，大部份是algorithm，有些code是PDP-10asm写的，另外有少数是Ccode(有人整理了一份列表)。2.开平方根说明人们很早就在Quake3源代码中发现了类似如下的C代码，它可以快速的求1/sqrt(x)，在3D图形向量计算方面应用很广floatinvSqrt(floatx){floatxha