高数1-3

第一章函数、极限与连续性1.1初等函数回顾1.1.1函数的概念设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数xD，变量y按照确定的法则总有唯一的数值与其对应，则称y是x的函数，记作y=f（x）.f--定义在D上的函数;D--定义域;x--自变量;y--因变量;R={y／y=f（x），x}—值域常见的函数的定义域有如下规则：（1）对于分式函数，分母不能为零；（2）偶次根号下的变量不能小于零；（3）对于对数函数y=x，规定：底数，，真数；（4）对于余切函数y=cotx，规定：，k；（5）对于正切函数y=tanx，规定：x，k；（6）对于反正弦函数y=arcsinx和反余弦函数y=arcosx规定：-1.1.1.2函数的几种特性xxDyRfyMM-Mxxoxo函数的特性包括有界性、单调性、奇偶性和周期性。（1）有界性定义：若有正数M存在，使函数f（x）在区间D上恒有|f（x）|，则称f(x)在区间D上是有界函数，否则，是无界函数。有界函数图形夹在两条平行线之间（2）单调性定义:若对于区间D内任意两点及，当时，有f（）f(,则称f（x）在I上单调增加，区间D称为单调增区间；若当时，有f（）f(,则称f(x)在D上单调减少，区间D称为单调减区间，单调增区间或单调减区间统称为单调区间。单调增函数延x轴正方向上升，单调减函数延x轴反方向下降（3）奇偶性y=f(x)yy定义：设D是关于原点对称的区间，若对于任意x属于D，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。（4）周期性若对于不为零的数T，使得对于任意x属于D，有x+T属于D，且f（x+T）=f（x）,则称f(x)为周期函数。通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。周期函数在每个定义域内都是相同形状1.1.3初等函数1.基本初等函数（理解和应用）我们把幂函数y=(aR),指函数y=(a0,a),对数函数y=x(a0,a),三角函数y=sinx,y=cosx,y=secx,y=cscx和反三角函数y=arcsinx,y=arccosx.y=arctanx,y=arccotx统称为基本初等函数。为了方便，很多时候也把多项式函数y=++…++看作基本初等函数。基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成的，并能用一个式子表示的函数，称为初等函数。列如，y=x,y,y=Incosx,y=等都是初等函数。列1.1.1函数y=是由哪些基本初等函数复合而成的？解另u=arcsinx,则y=,故y=是由y=,u=arcsinx复合而成的。列1.1.2函数y=tan是由哪些基本初等函数复合而成的？解另u=,则y=tanu;再另v=,则u=;再另w=;故y=tan,是由y=tanu,u=,w=复合而成的。3.分段函数定义：若函数y=f（x）在它的定义域内有不同的区间（或不同点）上有不同的表达式，则称它为分段函数。注意：分段函数一般不是初等函数。1.1.3反函数和复合函数1.反函数定义1.1.1设y=f(x)为定义在Ｄ上的函数，其值域为Ａ，若对于数集Ａ上的每个数，数集Ｄ都中都有唯一确定的一个数ｘ使ｆ（ｘ）＝ｙ，即ｘ变量为ｙ的函数，这个函数称为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数，记为ｘ＝（ｘ），其定义域为Ａ，值域为Ｄ。２.复合函数定义１.１.３设ｙ是ｕ的函数ｙ＝ｆ（ｕ），而ｕ又是ｘ的函数ｕ＝，且的值域与ｙ＝ｆ（ｕ）的定义域的交集非空，那么，ｙ通过中间变量ｕ的联系成为ｘ的函数，我们把这个函数称为是由函数ｙ＝ｆ（ｕ）与复合而成的复合函数，记作ｙ＝ｆ（．１．２极限的概念１.２．１数列的极限定义１.２.１如果数列的项数ｎ无限增大时，它的通项无限接近于某一个确定的常数ａ，则称ａ是数列的极限，此时也称数列收敛于ａ，记作ｌｉｍ＝ａ或ａ（ｎ）定义１．２．２如果数列的项数ｎ无线增大时，它的通项不接近于任何确定的常数，则称为数列没有极限，或称数列发散。注意：当ｎ无限增大时，如果无限增大，则数列没有极限。这时，习惯上也称数列的极限是无穷大，记作ｌｉｍ（ｎ）＝。定理１.２.１（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：对于任意给定的正数，存在正整数Ｎ，使得当ｍ，ｎ＞Ｎ时，总有＜．定理１.２.２（唯一性）若数列收敛，则其极限是唯一的。定理１.２.３（有界性）若数列收敛，则必有界。定理１.２.4（保号性）若数列收敛，且ｌｉｍ（ｎ）=a，则当a0(或a0)时，存在正数N，当nN时，有0（或0）.１.２．2函数的极限定义1.2.3如果当|x|无限增大（即x）时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，那么就称f(x)当x时存在极限A，称数A为当x时函数f(x)的极限，记作limf(x)(x)=A.定义1.2.4设函数f(x)在点的某个去心邻域内有定义，如果当x时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，那么就称当x时f(x)存在极限A；数A就称为当x时函数f(x)的极限，记作limf(x)(x)=A.注意；在定义中，‘设函数f(x)在点’，反映我们关心的是函数f(X)在点附近的变化趋势，而不是f(x)在这一孤立点的情况。在定义极限limf(x)(x)时，f(x)没有极限，与f(x)在点是否有定义并无关系。1.3.1极限的四则运算法则定理1.3.1设limf(x)(x)=A.limg(x)(x)=B.则（1）lim(x)=limf(x)(x)limg(x)(x)=AB,（2）lim(x)=limf(x)(x).limg(x)(x)=AB,特别地，lim(x)=Climf(x)(x)=C，（C为常数）；（3）lim(x)==，（B）说明：（1）使用这些运算法则的前提是自变量的同一变化过程中f（x）和g（x）的极限都存在；（2）上述运算法则对于x等其他变化过程也同样成立；（3）法则1,2可推广到有限个函数的情况，于是有=[n1.3.2复合函数的极限法则定理1.3.2设函数y=f（u）与u=满足如下两个条件：（1）=A；（2）当x时，，且，则)该定理可以形象的解释为“极限可以放到函数号里面去进行”。1.3.2函数极限的性质设(1)唯一性：当时f（x）的极限是唯一的；(2)局部有界性：在的某个去心领域内，函数f（x）有界；(3)局部保号性：当A0(或A0)时，在的某个去心领域内，f（x）0（或f（x）0）;(4)保序性：又设且在的某个去心领域内恒有f（x），则必有A。1.3.3两个重要准则定理1.3.3夹逼准则定理1.3.4单调有界准则1.4两个重要极限第一个重要极限第二个重要极限1.5无穷大无穷小1．5.1无穷小定义如果当时，函数f（x）的极限为0，那么就称函数f（x）为时无穷小记作无穷小的性质性质1有限个无穷小之和仍是无穷小性质2有界函数与无穷小之积仍是无穷小推论1常数与无穷小之积仍是无穷小推论2有限个无穷小之积仍是无穷小1.5.2无穷大定义1.5.2如果当时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(X)为时的无穷大。注意无穷大与无穷小的关系，学会比较大小。重要的等价无穷小的替换原理Sinx—x，tanx—x，arcsinx-x，1-cosx-(x……1.6函数的连续性1.函数在一点处连续2区间上的连续函数1.6.2函数的间断点2及其分类1.间断点的概念定义设函数y=f（x）在的某去心领域内有定义，如下列条件之一发生：（1）函数发f（x）在处无定义；（2）函数f（x）在处有定义，但极限存在，但，则称点为f(x)的间断点，或者说函数f（x）在处不连续。1.6连续函数的四则运算与初等函数的连续性1.7.1连续函数的四则运算1.7.2复合函数的连续性1.7.3初等函数的连续性1.7.4闭区间上连续函数的性质定理（最大值与最小值定理）闭区间上连续函数必有最值（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且在此区间的端点处取不同的函数值f（a）=A，f（b）=B，那么，对于A与B之间的任意一个数c，在闭区间[a,b]上至少有一点d，f（d）=c（a）1.8利用极限建模（了解）第2章导数与微分本章主要学习2.1导数的概念2.1.1导数的定义2.1.2导数的几何意义2.1.3可导与连续的关系2.2导数的计算2.2.1导数的基本公式(熟记导数公式)2.2.2导数的四则运算1.和差法则2.乘法法则2.2.3复合函数的导数定理设函数y=f[可以看作是由函数y=f(u)和函数u=复合而成，若函数u=在点x处可导，函数y=f（u）在对应点u处可导，则复合函数y=[也在x处可导。几个求导的方法反函数求导法隐函数求导法对数函数求导法参数方程求导法2.2.5高阶导数2.3函数的微分微分的概念微分的几何意义微分的运算法则近似计算2.4微分方程模型基本假设模型的建立与求解模型分析第3章导数的应用（重点）3.1中值定理3.1.1罗尔定理若函数y=f（x）满足：（1）在闭区间[a.b]上连续；（2）在开区间[a,b]内可导；（3）在区间[a,b]的端点处函数值相等，即f（a）=f（b）则在开区间（a，b）内至少存在一点使得（）3.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。3.2洛必达法则3.2.1洛必达法则一型（特别重要）洛必达法则二型3.3函数的单调性、极值与最值本节主要学习单调性的判别方法、函数的极值、函数的最大值与最小值、函数的凹凸性与拐点3.4函数的凹凸性与作图本节主要的是渐近线定义若曲线c上的动点p沿曲线无限地远离原点时，动点p到某一固定直线l的距离趋于零，则称直线l为曲线c的渐近线第4章4.1不定积分的概念4.1.1原函数与不定积分的概念定义4.1.1如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x),即对任一x∈I，都有那么函数F(X)称为f(x)，或dF(x)=f(x)dx,F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)称为f(x)在区间I上的一个函数。定理4.1.1如果f(x)在区间I上连续，那么在区间I上，一定存在可导函数F(X),使对任一x∈I,都有F’(x)=f(x)。定义4.1.2在区间I上，函数f(X)的函数族F(X)+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作∫f(x)dx=F（x）+C期中，∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积分表达式，x称为积分变量，C称为积分常数，可以是任意实数，求原函数或不定积分的运算称为积分法。(1)(C)0，(2)(x)x1，(3)(sinx)cosx，(4)(cosx)sinx，(5)(tanx)sec2x，(6)(cotx)csc2x，(7)(secx)secxtanx，(8)(cscx)cscxcotx，(9)(ax)axlna，(10)(ex)ex，(12)(lnx)x1，(13)(arcsinx)211x，(14)(arccosx)211x，(15)(arctanx)211x，(11)(logax)axln1(a0,a1)，，21(16)arccot'.1xx