高数2正项级数审敛法

级数的主要问题：(1)判敛，(2)求和正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.定义:，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数.nsss21部分和数列为单调增加数列.}{ns部分和数列特点回忆：单调数列收敛原理单调数列有界，则必有极限。2.正项级数收敛的充要条件:定理.有界部分和数列正项级数收敛sn若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.单调递增,收敛,也收敛.证:“”问题：寻找更实用的判敛法。且),2,1(nvunn,若1nnv收敛,则1nnu收敛；反之，若1nnu发散，则1nnv发散.均为正项级数，和设11nnnnvu3.比较审敛法证明证明nnuuus21且1)1(nnv设,nnvu,即部分和数列有界.1收敛nnunvvv21nns则)()2(nsn设,nnvu且不是有界数列.1发散nnv定理证毕.注释：1.条件改为N,当nN时，不等式成立，则相应结论仍成立。(收敛级数性质3)2.条件改为N,当nN时，unCvn，则相应结论仍成立。(收敛级数性质1)3.正项级数un发散,则un=+。例2证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,111nn发散而级数.)1(11nnn发散级数判别下列级数的敛散性：12)1(2)1(nnn解由于有不等式nnn232)1(2，因级数123nn收敛，所以由比较判别法知级数12)1(2nnn收敛．小结用比较判别法，要先估计级数可能的敛散性，再适当的放大或缩小不等式．（2）含三角函数的级数常可考虑用比较判别法．12sinnnnx解因为只要n足够大，就可保证级数为正项级数，因此用判别比较法nnnx212sin，而级数121nn收敛，所以原级数收敛．判别0111aann的敛散性．分析题中没有限定a的值，因为1,1,0limaaann，故需要对a加以讨论．解当10a时，因为011limnna，所以级数发散；当1a时，因为nnaa111，而11nna为收敛的等比级数，由比较判别法可知所给级数收敛．例1讨论P-级数ppppn14131211的收敛性.)0(p解,1p设,11nnp.级数发散则P,1p设oyx)1(1pxyp1234由图可知nnppxdxn11pppnns131211nnppxdxxdx1211npxdx11)11(1111pnp111p,有界即ns.级数收敛则P发散时当收敛时当级数,1,1ppP比较审敛法的不便:先要估计敛散性，找参考级数.且不等式不易估计。重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.4.比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlvunnnl00ll1nnv1nnu证明及例本质意义证明lvunnnlim)1(由,02l对于,N,时当Nn22llvullnn)(232Nnvluvlnnn即由比较审敛法的推论,得证.证明,0)2(l由,0对于,N,时当Nnnnvu0得证.,由)3(l,M0固定的对于,N,时当NnnnvMu0,0Mvunn得证.注意：比较审敛法的极限形式本质上是两个无穷小比阶，若同阶，则敛散性相同。因此可充分利用等价、同阶无穷小帮助分析．例讨论级数11sinnn的敛散性.解因为0111sinlimnnn，所以11sinnn与11nn敛散性相同.11nn发散，所以11sinnn发散.例3判定下列级数的敛散性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解)1(nnnn3131limnnn11sinlim,1原级数发散.)2(nnn1sinlimnnn311lim,1,311收敛nn故原级数收敛.解021)21ln(lim22nnn，所以12)21ln(nn与121nn敛散性相同.121nn是收敛的p级数，所以12)21ln(nn收敛.例讨论级数12)21ln(nn的敛散性.6.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：设1nnu是正项级数,如果)(lim1数或nnnuu则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.证明,为有限数时当,0对,N,时当Nn,1nnuu有)(1Nnuunn即,1时当,1时当,1r使,11NmmNuru,12NNruu,1223NNNurruu,,111mNmur收敛而级数,1收敛mmNu原级数收敛,1r使,时当Nn,1nnnuruu.0limnnu发散取充分小，取充分小，比值审敛法的优点:不必找参考级数.当1时比值审敛法失效;,11发散级数例nn,112收敛级数nn)1(例4判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.解)1(!1)!1(11nnuunn11n),(0n.!11收敛故级数nn),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn101n.10!1发散故级数nnn)3()22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,1比值审敛法失效,改用比较审敛法,12)12(12nnn,112收敛级数nn.)12(211收敛故级数nnn,232)1(2nnnnnvu例,2)1(211收敛级数nnnnnu,))1(2(2)1(211nnnnnauu但,61lim2nna,23lim12nna.limlim1不存在nnnnnauu2.条件是充分的,而非必要.7.根值审敛法(柯西判别法)：设1nnu是正项级数,如果nnnulim)(为数或,则1时级数收敛;,1,1nnn设级数例如nnnnnu1n1)(0n级数收敛.1时级数发散;1时失效.判别下列正项级数的敛散性．112nnnn12112lim12limnnnnnnnn解故原级数收敛。（亦可用比值法。）一般地，首先考虑用比值或根值判别法：当nu含有nn或!n或0aan可考虑用比值法；当nu含有nn或0aan亦可考虑用根值法．其次，再考虑用其它的判别法．．判别下列级数的敛散性：（1）1)1(arcsinnnn（2）112)13(nnnn解（1）用根值判别法，由于101arcsinlim)1(arcsinlimnnnnnn，所以原级数收敛．（2）因为nnnnnnnnnnnnu1212)13(lim)13(limlim)13ln()12(limnnnne191)31(231ln2e所以原级数收敛．总之，（1）这一部分主要内容是级数的相关定义，级数的性质，正项级数的判别法．对一个给定的级数，在判别其收敛性之前，应先分析清楚级数的结构，再选择适当的判别法．这就要求我们熟练记住及运用级数的性质及判别法．（2）通过分析前面的例子，我们看到，熟练运用一些常见极限的结论，能进行灵活的极限运算及等价无穷小运算，对于我们准确地分析级数的敛散性有重要意义．解（1）易判别级数1!2nnn为收敛（比值法），所以0!2limnnn．(2)易判别级数1!nnne为收敛（比值法），所以0!limnenn．其它１．证明下列极限：（1）0!2limnnn（2）0!limnenn方法以此数列为一般项构造一级数，证明此级数收敛，由级数收敛的必要条件，得数列极限为零．由此求数列极限又多了一种方法．思考与练习设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示:nnnuu2limnnulim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.1.练习判别级数的敛散性:解:(1)11nn发散,故原级数发散.不是p–级数(2)11nn发散,故原级数发散.定理6(积分审敛法)设1nnu为正项级数，如果连续函数f(x)在),[N上单调递减，且NNNnnfun),1,()(为某个自然数.则级数Nnnu与广义积分Nxxfd)(有相同的敛散性.例判别级数2ln1nnn的敛散性.解取xxxfln1)(，该函数在),2[上满足积分审敛法的条件.又广义积分22lnlndln1xxxx发散，所以级数2ln1nnn发散.例判别级数22)(ln1nnn的敛散性.解取2)(ln1)(xxxf，该函数在),2[上满足积分审敛法的条件.又广义积分222ln12ln1d)ln(1xxxx收敛，所以级数22)(ln1nnn收敛.二、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu111)1()1(或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1nuunn;(ⅱ)0limnnu,（莱布尼茨条件）则级数收敛,且其和1us,其余项1nnur.)0(nu其中证明nnnnuuuuuus212223212)()(又)()()(21243212nnnuuuuuus1u,01nnuu.lim12ussnn,0lim12nnu,2是单调增加的数列ns,2是有界的数列ns)(limlim12212nnnnnuss,s.,1uss且级数收敛于和),(21nnnuur余项,21nnnuur满足收敛的两个条件,.1nnur定理证毕.收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛!)1(1n!1n11nnnuu11011nnnn10nn1101例2判别级数21)1(nnnn的收敛性.解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0x,1单调递减故函数xx,1nnuu1limlimnnunnn又.0原级数收敛.解这是一交错级数且0limnnu，但nu不是单调减的，所以不能用莱布尼兹判别法判定．若考虑加括号后的级数11111131131121121nnbnn，则nbn2，且1nnb发散，利用级数的性质，可知原级数一定发散．例．判定1111131