高数下【61-62节】一阶微分方程

微分方程第六章yxfy求已知,)(—积分问题yy求及其若干阶导数的方程已知含,—微分方程问题推广目录上页下页返回结束微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第六章目录上页下页返回结束引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:xxy2dd①(C为任意常数)由②得C=1,21.yx因此所求曲线方程为21xy②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.目录上页下页返回结束引例2.列车在平直路上以的速度行驶,获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,00ts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得因此所求运动规律为tts202.02说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).制动时目录上页下页返回结束常微分方程偏微分方程含未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),,,,()(nyyyxF),,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或目录上页下页返回结束,00ts—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.（初值条件或定解条件)的阶数相同.特解21xy200ddtts引例24.022ddtsxxy2dd引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:微分方程的解—不含任意常数的解.初始条件目录上页下页返回结束例1.验证函数是微分方程的通解,,0Axt00ddttx的特解.解:)sincos(212tkCtkCk这说明tkCtkCxsincos21是方程的解.是两个独立的任意常数,),(21为常数CC利用初始条件易得:故所求特解为tkAxcos故它是方程的通解.并求满足初始条件目录上页下页返回结束说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程y=–x及y=C目录上页下页返回结束内容小结微分方程的概念微分方程;定解条件;说明:通解不一定是方程的全部解.解;阶;通解;特解目录上页下页返回结束一阶微分方程第二节第六章一、可分离变量的方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程目录上页下页返回结束两边积分,得xxfd)(①②则有称②为方程①的隐式通解.设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),转化解分离变量方程xxfyygd)(d)(一、可分离变量方程)()(dd21yfxfxy0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22目录上页下页返回结束例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxy即1eCC令(C为任意常数)说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)目录上页下页返回结束例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y目录上页下页返回结束二、齐次微分方程形如的一阶微分方程叫做齐次微分方程.令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:目录上页下页返回结束例3.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)0C此处目录上页下页返回结束例4.解微分方程解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.目录上页下页返回结束P1501,3(2),4,5P1621(2)(4)(6)(8),2(1)-(3)作业目录上页下页返回结束三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,若Q(x)0,称为一阶线性非齐次方程.称为一阶线性齐次方程;例如,dyxydxsindxxtdt线性齐次的;非线性的.线性非齐次的;23,yyxy2,dyyxdx2sindxxttdt1cosyy目录上页下页返回结束0)(ddyxPxy1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPCyd)(e一阶线性微分方程的解法目录上页下页返回结束xxPCyd)(e对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd则xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作变换xxPuxPd)(e)(CxxQuxxPde)(d)(两端积分得目录上页下页返回结束非齐次方程-----公式PydxPydxxQyedyced()()dyPxyQxxy()dePxxC()d()de()edPxxPxxQxx:dxPyxQydy注意目录上页下页返回结束例5.解方程解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得即2)1(xCy用常数变易法求特解.,)1()(2xxuy则)1(2)1(2xuxuy代入非齐次方程得解得Cxu23)1(32故原方程通解为令目录上页下页返回结束例5.解方程解:(公式法)()d()de()edPxxPxxyQxxC令2(),1Pxx52()(1)Qxx则通解为()d()de()edPxxPxxyQxxC目录上页下页返回结束例6.求方程的通解.解:令则其通解为eyxxd11(ln)ddxxaxexC(ln)ln]xaxdxC1(),Pxx()lnQxax()d()de()edPxxPxxyQxxC2)ln(2xaCx1(ln)]xaxdxCx四、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得解法:(线性方程)伯努利方程的通解。例1.求方程的通解.解:令,1yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1yzxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:.42的通解求方程yxyxdxdy,412xyxdxdyy,yz令,422xzxdxdz,22Cxxz解得.224Cxxy即解，得两端除以y例2内容小结)()(ygxfdxdy形式：形式Ⅱ：xydxdy形式Ⅰ：)(byaxfdxdy可分离变量微分方程齐次方程分离变量;两边积分。作变量代换xyu作变量代换byaxzCdxexQeydxxPdxxP)()()()()(xQyxPdxdy形式：通解公式：4.Bernoulli方程形式αyxQyxPy)(=)(+′1,0≠α)()1()()1(xQzxPdxdz1yz3.一阶线性微分方程——可化为分离变量的微分方程目录上页下页返回结束思考与练习判别下列方程类型并求解:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy3(4)2d()d0yxyxy提示:xxyyydd1可分离变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程目录上页下页返回结束P1635(1)(2)(4),6,7作业