高数下册复习提纲

高等数学（下）复习提纲-1-第7章：微分方程一、微分方程的相关概念1.微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2.微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解.特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解.3.特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中.二、微分方程的常见类型及其解法1.可分离变量的微分方程及其解法(1).方程的形式：dxxfdyyg)()(.(2).方程的解法：分离变量法(3).求解步骤①.分离变量，将方程写成dxxfdyyg)()(的形式；②.两端积分：dxxfdyyg)()(，得隐式通解CxFyG)()(；③.将隐函数显化.2.齐次方程及其解法(1).方程的形式：xydxdy.(2).方程的解法：变量替换法(3).求解步骤①．引进新变量xyu，有uxy及dxduxudxdy；②．代入原方程得：)(udxduxu；③．分离变量后求解，即解方程xdxuudu)(；④．变量还原，即再用xy代替u.3.一阶线性微分方程及其解法(1).方程的形式：)()(xQyxPdxdy.一阶齐次线性微分方程:0)(yxPdxdy.一阶非齐次线性微分方程:0)()(xQyxPdxdy.(2).一阶齐次线性微分方程0)(yxPdxdy的解法:分离变量法.通解为xdxPCey)(,(RC).(公式)高等数学（下）复习提纲-2-(3).一阶非齐次线性微分方程0)()(xQyxPdxdy的解法:常数变易法.对方程)()(xQyxPdxdy，设xdxPexuy)()(为其通解，其中)(xu为未知函数，从而有xdxPxdxPexPxuxudxdy)()()()(e)(，代入原方程有)()()()()(e)()()()(xQexuxPexPxuxuxdxPxdxPxdxP，整理得xdxPxQxu)(e)()(，两端积分得CdxexQxuxdxP)()()(，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解))(()()(CdxexQeyxdxPxdxPdxexQeCexdxPxdxPxdxP)()()()(，(公式)即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解.三、可降阶的高阶微分方程1．)()(xfyn型接连n次积分，可得此方程的含有n个相互独立的任意常数的通解．2．),(yxfy型令py，则dxdpy，代入原方程，并依次解两个一阶微分方程便可得此方程的通解．3．),(yyfy型令py，则dydppdxdydydpdxdpy，代入原方程，得到一阶微分方程),(pyfdydpp．解此一阶微分方程，得到),(1Cypy，然后分离变量并积分便可得此方程的通解．高等数学（下）复习提纲-3-第8章向量与解析几何平面直线法向量{,,}nABC点0000(,,)Mxyz方向向量{,,}Tmnp点0000(,,)Mxyz方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式0AxByCzD一般式1111222200AxByCzDAxByCzD点法式000()()()0AxxByyCzz点向式000xxyyzzmnp三点式1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzz参数式000xxmtyyntzzpt截距式1xyzabc两点式000101010xxyyzzxxyyzz面面垂直1212120AABBCC线线垂直1212120mmnnpp面面平行111222ABCABC线线平行111222mnpmnp线面垂直ABCmnp线面平行0AmBnCp点面距离0000(,,)Mxyz0AxByCzD000222AxByCzDdABC面面夹角线线夹角线面夹角1111{,,}nABC2222{,,}nABC1111{,,}mnps2222{,,}mnps{,,}mnps{,,}ABCn121212222222111222||cosAABBCCABCABC121212222222111222cosmmnnppmnpmnp222222sinAmBnCpABCmnp高等数学（下）复习提纲-4-第9章多元函数微分法及其应用一、基本概念1．多元函数（1）知道多元函数的定义n元函数：),,,(21nxxxfy（2）会求二元函数的定义域1°：分母不为0；2°：真数大于0；3°：开偶次方数不小于0；4°：uzarcsin或uarccos中||u≤1（3）会对二元函数作几何解释2．二重极限Ayxfyyxx),(lim00这里动点),(yx是沿任意路线趋于定点),(00yx的．（1）理解二重极限的定义（2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）．3．多元函数的连续性（1）理解定义：)()(lim00PfPfPP．（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。二、偏导数与全微分1．偏导数（1）理解偏导数的定义（二元函数）xyxfyxxfxzx),(),(lim00000yyxfyyxfyzy),(),(lim00000（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系．（3）求偏导数法则、公式同一元函数．2．高阶偏导数（1）理解高阶偏导数的定义．（2）注意记号与求导顺序问题．（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：xyzyxz22．3．全微分（1）知道全微分的定义若),(),(0000yxfyyxxfz可表示成)(oyBxA，则),(yxfz在点),(00yx处可微；称yBxA为此函数在点),(00yx处的全微分，记为yBxAdz．（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：函数可微，偏导数必存在；（xzA，yzB；dyyzdxxzdz）高等数学（下）复习提纲-5-偏导数存在，不一定可微（dzz是否为)(o）．偏导数连续，全微分必存在．方向导数、梯度，只对快班要求．三、多元复合函数与隐函数求导法则1．多元复合函数的求导法则（1）xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法．2．隐函数的求导公式（1）一个方程的情形若0),(yxF确定了)(xyy，则yxFFdxdy；若0),,(zyxF确定了),(yxzz，则zxFFxz，zyFFyz．（2）方程组的情形若0),,(0),,(zyxGzyxF能确定)()(xzzxyy，则由00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx可解出dxdy与dxdz；若0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF确定了),(yxuu，),(yxvv，象上边一样，可以求出xu，xv及yu，yv．2．极值应用（1）求一个多元函数的极值（如),(yxfz）：先用必要条件00yzxz，求出全部驻点，再用充分条件求出驻点处的xxz，yyz与xyz；02BAC，0A时有极大值，0A时有极小值；02BAC时无极值．（2）求最值1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较；2°：有实际意义的最值问题．（3）条件极值求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．如：),,(zyxfu在条件0),,(1zyx与0),,(2zyx下的极值时，取),,(),,(),,(),;,,(221121zyxzyxzyxfzyxF高等数学（下）复习提纲-6-解方程组0000021zyxFFF，求出x，y，z则),,(zyx就是可能的极值点；再依具体问题就可判定),,(zyx为极大（或极小）值点．高等数学（下）复习提纲-7-Oxy)(1yxcd)(2yxY型区域第10章重积分一、二重积分1．定义：niiiinDfdyxf1)(0),(lim),(2．几何意义：当),(yxf≥0时，Ddyxf),(表示以曲面),(yxfz为顶，以D为底的曲顶柱体体积．物理意义：以),(yxf为密度的平面薄片D的质量．3．性质1°：DDdyxfkdyxkf),(),(2°：DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),()],(),([3°：若21DDD，则21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf4°：1),(yxf时，DDdyxf),(5°：若在D上),(yx≥),(yx，则Ddyx),(≥Ddyx),(Ddyxf),(≥(,)Dfxyd6°：若),(yxf在闭区域D上连续，且m≤),(yxf≤M，则Dm≤Ddyxf),(≤DM7°：（中值定理）若),(yxf在闭区域D上连续，则必有点D),(，使DDfdyxf),(),(4．二重积分的计算法（1）在直角坐标系中1°：若积分区域D为X型区域D：)()(21xyxbxa则化为先y后x的二次积分：baxxDdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(2°：若积分区域D为Y型区域D：)()(21yxydyc则化为先x后y的二次积分：dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(Oxy)(1xyab)(2xyX型区域高等数学（下）复习提纲-8-OrD极点在外D极点在的边界上rOOrD极点在内Oyxz),(2yxzz),(1yxzzxyD（2）在极坐标系中)sin,cos(),(rrfyxf,rdrdd1°：极点在D外：D：)()(21r则有)()(21)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD2°：极点在D的边界上：D：)(0r则有)(0)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD3°：极点在D内：D：)(020r则有20)(0)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD在计算二重积分时要注意：1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有22yx或两个积分变量之比xy、yx时，一般可选择极坐标系．2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）．3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D关于x轴（或y轴）对称时，应配合被积函数对于y（或x）的奇偶性．4°：若)()(),(21yfxfyxf，积分区域D: