高数下第十一章曲线积分与曲面积分.

第十一章曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL01(,)lim(,).niiiLifxydsfs2.存在条件：.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当LdsyxfLyxf3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数),,(zyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxf4.性质.),(),()],(),([)1(LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数kdsyxfkdsyxkfLL.),(),(),()3(21LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL5、对弧长曲线积分的计算定理)()()()](),([),(,],[)(),()(),(),(,),(22dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意:;.1一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中yxyxf例1).(,sin,cos:,象限第椭圆求tbytaxLxydsIL解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincosdttbtattab222220cossincossinabduubaab222)cossin(2222tbtau令.)(3)(22bababaab例2.)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求xyLydsIL解dyyyI222)2(1.0例3)20(.,sin,cos:,的一段其中求kzayaxxyzdsI解.21222kakaxy42dkaka222sincos20I例3.0,,22222zyxazyxdsxI为圆周其中求解由对称性,知.222dszdsydsxdszyxI)(31222故dsa32.323a),2(球面大圆周长dsa1、Lyxdse22,其中L为圆周222ayx,直线xy及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；2、yzdsx2,其中L为折线ABCD,这里DCBA,,,依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；3、Ldsyx)(22,其中L为曲线)cos(sin)sin(costttaytttax)20(t；练习题练习题答案1、2)42(aea；2、9；3.)21(2232a；二、对坐标的曲线积分的概念1.定义:函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分01(,)lim(,)niiiLiPxydxPx类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ,),(),,(叫做被积函数其中yxQyxP.叫积分弧段L2.存在条件：.,),(),,(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP3.组合形式LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsF4.推广空间有向曲线弧.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.RdzQdyPdx.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxR5.性质.,)1(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设,,)2(LLL即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(6、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(且.,,)()()(:)3(终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{例1.)1,1()1,1(,2的一段弧到上从为抛物线其中计算BAxyLxydxL解的定积分，化为对x)1(.xyOBAOLxydxxydxxydx1001)(dxxxdxxx10232dxx.54xy2)1,1(A)1,1(B的定积分，化为对y)2(,2yxABLxydxxydx1122)(dyyyy.11到从y1142dyy.54xy2)1,1(A)1,1(B.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算aBxaAaLdxyL例2解,sincos:)1(ayaxL，变到从0)0,(aA)0,(aB0原式daa)sin(sin22)0,(aA)0,(aB.343a,0:)2(yL，变到从aaxaadx0原式.0问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.03a)(cos)cos1(2d例3).1,1(),0,1()0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy)0,1(A)1,1(B解.)1(的积分化为对x,10,:2变到从xxyL1022)22(dxxxxx原式1034dxx.1)0,1(A)1,1(B2yx.)2(的积分化为对y,10,:2变到从yyxL1042)22(dyyyyy原式1045dxy.1)0,1(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式,上在OA,10,0变到从xy1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上在AB,10,1变到从yx102)102(2dyydyxxydxAB.110原式.1)0,1(A)1,1(B问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.(4)两类曲线积分之间的联系：,)()(tytxL：设有向平面曲线弧为,,),(为处的切线向量的方向角上点yxLLLdsQPQdyPdx)coscos(则其中,)()()(cos22ttt,)()()(cos22ttt（可以推广到空间曲线上）思考题当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如L：taxcos，taysin，]2,0[t，a是正常数），试问如何表示L的方向（如L表示为顺时针方向、逆时针方向）？思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.例如L：taxcos，taysin，]2,0[t中当t从0变到2时，L取逆时针方向;反之当t从2变到0时，L取顺时针方向.练习题：1、Lxydx,L其中为圆周)0()(222aayax及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；2、Lyxdyyxdxyx22)()(,L其中为圆周222ayx(按逆时针方向饶行)；3、ydzdydx,其中为有向闭折线ABCA,这里的CBA,,依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；练习题答案1、;23a2、2；3、21；1、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD三、格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)((1)其中L是D的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式.2.格林公式定理1连成与由21LLL组成与由21LLL边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.2LD1L2L1LD格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.xyoL例1计算ABxdy,其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限部分.解引入辅助曲线L,ABDBOABOAL应用格林公式,xQP,0有LDxdydxdy,BOABOAxdyxdyxdy,0,0BOOAxdyxdy由于.412rdxdyxdyDAB例2计算Lyxydxxdy22,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.则当022yx时,有yPyxxyxQ22222)(.记L所围成的闭区域为D,解令2222,yxxQyxyP,L(1)当D)0,0(时,(2)当D)0,0(时,1DrlxyoLD由格林公式知Lyxydxxdy022作位于D内圆周222:ryxl,记1D由L和l所围成,应用格林公式,得yxolLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222lLyxydxxdyyxydxxdy(其中l的方向取逆时针方向).2(注意格林公式的条件)drrr22222sincos20若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考题思考题解答oxyABCDEFG由两部分组成L外边界：内边界：BCDABEGFEGyxo1LQdyPdx则称曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关,四、第二类曲线积分与路径无关的条件2LQdyPdx1L2LBA1.定义：如果在区域G内有否则与路径有关.2.曲线积分与路径无关的条件设开区域G是一个单连通域,函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是xQyP在G内恒成立.定理2(1)开区域G是一个单连通域.(2)函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数.两条件缺一不可有关定理的说明：设开区域G是一个单连通域,函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数,则dyyxQdxyxP),(),(在G内为某一函数),(yxu的全微分的充要条件是等式xQyP在G内恒成立.定理3xQyP若),(),(1100yxByxAQdyPdx则dyyxQdxyxPyyxx),(),(101010),(01yxC),(11yxBxyo),(00yxAdxyxPdyyxQxxyy),(),(101010或例1计算Ldyyxd