高数作业(一)(答案)

常微分方程第一节微分方程的基本概念1、试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数..1ln)cos()4(;052)3(;42)2(;)1(32222xyyxydxdydxydxxdxdydxdyxyxdxdy解(1)是一阶线性微分方程，因方程中含有的dxdy和y都是一次.(2)是一阶非线性微分方程，因方程中含有的dxdy的平方项.(3)是二阶非线性微分方程，因方程中含有的dxdy的三次方.(4)是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数)cos(y和.lny2、设一物体的温度为100℃,将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比,设物体的温度T与时间t的函数关系为),(tTT则可建立起函数)(tT满足的微分方程)20(TkdtdT其中)0(kk为比例常数.这就是物体冷却的数学模型.根据题意,)(tTT还需满足条件.1000tT3、设一质量为m的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落.根据牛顿第二定律：物体所受的力F等于物体的质量m与物体运动的加速度成正比，即mF，若取物体降落的铅垂线为x轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0t，物体下落的距离x与时间t的函数关系为)(txx，则可建立起函数)(tx满足的微分方程gdtxd22其中g为重力加速度常数.这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，)(txx还需满足条件.0,0)0(0tdtdxx4、验证函数xCxysin)(2(C为任意常数)是方程0sin2cotxxxydxdy的通解,并求满足初始条件0|2xy的特解.解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将xCxysin)(2求一阶导数,得dxdy,cos)(sin22xCxxx把y和dxdy代入方程左边得xxxydxdysin2cotxxxxCxxCxxxsin2cotsin)(cos)(sin222.0因方程两边恒等,且y中含有一个任意常数,故xCxysin)(2是题设方程的通解.将初始条件02xy代入通解xCxysin)(2中，得C402,.42C从而所求特解为.sin422xxy第二节一阶微分方程1、形如的微分方程为可分离变量的微分方程；形如的一阶微分方程称为齐次微分方程；形如的方程称为一阶线性微分方程.当时,这个方程称为一阶齐次线性方程，它的通解为；当时,这个方程称为一阶非齐次线性方程，它的通解为.解:形如)()(ygxfdxdy的微分方程为可分离变量的微分方程；形如xyfdxdy的一阶微分方程称为齐次微分方程；形如)()(xQyxPdxdy的方程称为一阶线性微分方程.当,0)(xQ这个方程称为一阶齐次线性方程，它的通解为.)(dxxPCey当,0)(xQ这个方程称为一阶非齐次线性方程，它的通解为dxxPdxxPeCdxexQy)()()(.2、求微分方程ydydxyxydydx2的通解.解先合并dx及dy的各项,得dxydyxy)1()1(2设,01,012xy分离变量得dxxdyyy1112两端积分dxxdyyy1112得||ln|1|ln|1|ln2112Cxy于是2212)1(1xCy记,21CC则得到题设方程的通解.)1(122xCy3、已知,tan2cos)(sin22xxxf当10x时,求).(xf解设,sin2xy则,21sin212cos2yxx.1sin1sincossintan22222yyxxxxx所以原方程变为,121)(yyyyf即.112)(yyyf所以)(yfyy112dy2y,)1ln(Cy故Cxxxf)]1ln([)(2).10(x4、求解微分方程xyxydxdytan满足初始条件61xy的特解.解题设方程为齐次方程,设,xyu则,dxduxudxdy代入原方程得,tanuudxduxu分离变量得.1cotdxxudu两边积分得||ln||ln|sin|lnCxu，,sinCxu将xyu回代，则得到题设方程的通解为.sinCxxy利用初始条件,6/|1xy得到.21C从而所求题设方程的特解为.21sinxxy5、求解微分方程.22dxdyxydxdyxy解原方程变形为22xxyydxdy,12xyxy（齐次方程）令,xyu则,uxy,dxduxudxdy故原方程变为,12uudxduxu即.1uudxdux分离变量得u11.xdxdu两边积分得||ln||lnxCuu或.||lnCuxu回代,xyu便得所给方程的通解为.||lnCxyy6、求方程xxyxysin1的通解.解,1)(xxP,sin)(xxxQ于是所求通解为Cdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsin).cos(1Cxx7、求方程2/5)1(12xxydxdy的通解.解这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解.由012yxdxdy12xdxydyCxyln)1ln(2ln.)1(2xCy用常数变易法,把C换成,u即令,)1(2xuy则有),1(2)1(2xuxudxdy代入所给非齐次方程得,)1(1/2xu两端积分得,)1(322/3Cxu回代即得所求方程的通解为.)1(32)1(2/32Cxxy第三节可降阶的二阶微分方程1、求方程xeyxcos2满足1)0(,0)0(yy的特解.解对所给方程接连积分二次,得,sin2112Cxeyx(1),cos41212CxCxeyx(2)在(1)中代入条件,1)0(y得,211C在(2)中代入条件,0)0(y得,452C从而所求题设方程的特解为.4521cos412xxeyx2、求方程02)1(222dxdyxdxydx的通解.解这是一个不显含有未知函数y的方程.令),(xpdxdy则,22dxdpdxyd于是题设方程降阶为,02)1(2pxdxdpx即.122dxxxpdp两边积分,得|,|ln)1ln(||ln12Cxp即)1(21xCp或).1(21xCdxdy再积分得原方程的通解.3231CxxCy3、求微分方程初值问题3,1,2)1(002xxyyyxyx的特解.解题设方程属),(yxfy型.设,py代入方程并分离变量后,有.122dxxxpdp两端积分，得,)1ln(||ln2Cxp即)1(21xCyp).(1ceC由条件,30xy得,31C所以).1(32xy两端再积分,得.323Cxxy又由条件,10xy得,12C于是所求的特解为.133xxy4、求方程02yyy的通解.解设),(ypy则,dydppy代入原方程得,02pdydppy即.0pdydpyp由,0pdydpy可得,1yCp所以,1yCdxdy原方程通解为.12xCeCy5、求微分方程)(22yyyy满足初始条件,1)0(y2)0(y的特解.解令,py由,dydppy代入方程并化简得).1(2pdydpy上式为可分离变量的一阶微分方程，解得,12Cyyp再分离变量,得,12dxCydy由初始条件,1)0(y2)0(y定出,1C从而得,12dxydy再两边积分,得1arctanCxy或),tan(1Cxy由1)0(y定出,41arctan1C从而所求特解为).4tan(xy第四节~第六节二阶线性微分方程1、二阶线性微分方程的一般形式是，其中是自变量x的已知函数，当右端项时,方程成为，这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，右端项时，原方程称为二阶非齐次线性微分方程.解二阶线性微分方程的一般形式是)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd，其中)(xP、)(xQ及)(xf是自变量x的已知函数，当右端项0)(xf时,方程成为0)()(22yxQdxdyxPdxyd，这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，右端项()0fx时，原方程称为二阶非齐次线性微分方程.2、设y是方程二阶非齐次线性微分方程的一个特解，而Y是其对应的齐次方程的通解，则就是二阶非齐次线性微分方程的通解.解设y是方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd的一个特解，而Y是其对应的齐次方程0)()(22yxQdxdyxPdxyd的通解，则yYy就是二阶非齐次线性微分方程的通解.3、求方程032yyy的通解.解所给微分方程的特征方程为,0322rr其根3,121rr是两个不相等的实根，因此所求通解为.321xxeCeCy4、求方程044yyy的通解.解特征方程为,0442rr解得1r2r,2故所求通解为.)(221xexCCy5、求方程052yyy的通解.解特征方程为,0522rr解得2,1r,21i故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx6、下列方程具有什么样形式的特解?(1);653xeyyy(2);3652xxeyyy(3).)13(22xexyyy解(1)因3不是特征方程0652rr的根,故方程具有特解形式：;30*xeby(2)因2是特征方程0652rr的单根,故方程具有特解形式:;)(210*xebxbxy(3)因1是特征方程0122rr的二重根，所以方程具有特解形式：.)(21202*xebxbxbxy7、求方程1332xyyy的一个特解.解题设方程右端的自由项为xmexPxf)()(型，其中,13)(xxPm.0对应的齐次方程的特征方程为,0322rr特征根为,11r.32r由于0不是特征方程的根，所以就设特解为.10*bxby把它代入题设方程,得,13323100xbbxb比较系数得,13233100bbb解得.31110bb于是，所求特解为.31*xy8、求方程xyysin4的通解.解对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1ir故对应齐次方程的通解.sincos21xCxCY作辅助方程.4ixeyyi是单根,故设.*ixAxey代入上式得42Ai,2iA*yixixe2),cos2(sin2xxixx取虚部得所求非齐次方程特解为.cos2*xxy从而题设方程的通解为.cos2sincos21xxxCxCy9、设函数)(xy满足,1)0(,)](sin6[1)(02ydttytxyx求)(xy.解将方程两端对x求导，得微分方程,sin62xyy即),2cos1(3xyy特征方程为,012r特征根为,1ir,2ir对应齐次方程的通解为,sincos21xCxCY注意到方程的右端)(xfx2cos33),()(21