高数各章综合测试题与答案

第十一章无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnnax在1x处收敛，则该幂级数在52x处必然()(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是().(A)1(1);210nnnn(B)131(1);nnn(C)111(1)();2nnn(D)113(1).nnn3、若数项级数1nna收敛于S，则级数121nnnnaaa()(A)1;Sa(B)2;Sa(C)12;Saa(D)21.Saa4、设a为正常数，则级数21sin3nnann().(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)收敛性与a有关.5、设2(),01fxxx≤，而1()sinπ,nnSxbnxx，其中102()sinπ,(1,2,)nbfxnxn，则1()2S等于()(A)1;2(B)1;4(C)1;4(D)12.二、填空题1、设14nnu，则111()22nnnu()2、设111nnnax的收敛域为2,4，则级数11nnnnax的收敛区间为()3、设32,10(),01xfxxx≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x处收敛于()4、设2()π,ππfxxxx的傅里叶级数为01cossin,2nnnaanxbnx则3b()5、级数1(1)221!nnnn的和为()三、计算与应用题1、求级数113;3nnnxn的收敛域2、求21112nnn的和3、将函数2()ln12fxxx展开为x的幂级数，并求(1)0nf4、求2012!nnnnxn的和函数5、已知()nfx满足1()()enxnnfxfxx，n为正整数，且e(1)nfn，求函数项级数1nnfx的和函数.6、设有方程10nxnx，其n中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x，并证明当1时，级数1nnx收敛.四、证明题设π40tandnnaxx（1）求211nnnaan（2）试证：对任意常数0，级数1nnan收敛提示：2111nnaannn，2111nnnaan.因为211nnaan,所以111nann,1111nnnann第十一章无穷级数测试题答案与提示一、1、A；2、D；3、B；4、C；5、B.二、1、1；2、4,2；3、32；4、2π3；5、cos1sin1.三、1、答案：0,6.2、答案：53ln284提示：原式为级数211nnxn的和函数在12x点的值.而22221121211nnnnnnxxxnnn,分别求出2121nnxn和2121nnxn的和函数即可.3、答案：110(1)211(),,122nnnnfxxxn1(1)(1)20!1nnnfnn.提示:2()ln12ln12ln1fxxxxx4、答案：222011e1,2!42xnnnnxxxxn提示：2011112!1!2!2nnnnnnnnnxxxnnn，而1011e,e1!!xnxnnnxxxnn5、答案：1eln1,1,1xnnfxxx提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()exnxfxn111eexxnnnnxxfxnn，记1()nxSxn，则可得()ln(1)Sxx6、提示:设()1nnfxxnx,则()0,0nfxx,故()nfx在0,内最多有一个正根.而(0)10,(1)0nnffn,所以有唯一正根0x.由方程10nxnx知,00110nxxnn,故当1时，级数1nnx收敛.四、提示：2111nnaannn，2111nnnaan.因为211nnaan,所以111nann,1111nnnann第十章曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题1、已知2ddxayxyyxy为某二元函数的全微分，则a等于()(A)1;(B)0;(C)1;(D)2.2、设闭曲线c为1xy的正向，则曲线积分ddcyxxyxy的值等于()(A)0;(B)2;(C)4;(D)6.3、设为封闭柱面22203xyaz≤≤，其向外的单位法向量为cos,cos,cosn，则coscoscosdxyzs等于()(A)29π;a(B)26π;;a(C)23π;a(D)0.4、设曲线c为22220xyzaxyz，则dcxs等于()(A)23;a(B)0;(C)2;a(D)213a.5、设为下半球222zaxy的上侧，是由和0z所围成的空间闭区域，则ddzxy不等于()(A)d;v(B)2π2200ddaarrr;(C)2π2200dd;aarrr(D)ddzxyxy.二、填空题1、设c是圆周222xya，则2dcxys()2、设质点在力32Fyxiyxj的作用下沿椭圆2244xy的逆时针方向运动一周，则F所做的功等于()3、设是平面6xyz被圆柱面221xy所截下的部分，则dzs等于()4、设是球面2221xyz的外侧，则23222ddxyzxyz等于()5、设22()d()d1cxfxyxfxyx与路径无关，其中()fx连续且(0)0f，则()fx()三、计算与应用题1、求xysindcosdLIeybxyxeyaxy，其中,ab为正常数，L为从点2,0Aa沿曲线22yaxx到点0,0O的弧.2、计算2dLIys，其中L为圆周22220xyzaxyz.3、在变力Fyzizxjxyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221xyzabc上第一卦挂线的点,,M，问,,取何值时，力F所做的功W最大？并求出W最大值.4、设S为椭球面222122xyz的上半部分，点,,PxyzS，π为S在点P处的切平面，,,xyz为点0,0,0O到平面π的距离，求d,,Szsxyz.5、求dd2dd3ddIxzyzzyzxxyxy，其中为曲面221014yzxx≤≤的上侧.6、设对于半空间0x内任意光滑有向闭曲面S，都有，2()dd()ddedd0xSxfxyzxyfxzxzxy，其中函数()fx在0,内具有连续的一阶导数，且0lim()1xfx，求()fx.答案：e()e1xxfxx提示：由题设和高斯公式得220()dd()ddedd()()()edxxSxfxyzxyfxzxzxyxfxfxxfxv由S的任意性，知2()()()e0xxfxfxxfx，解此微分方程即可.四、证明题已知平面区域,0π,0πDxyxx≤≤≤≤，L为D的正向边界，试证：（1）sinsinsinsinededededyxyxLLxyyxxyyx；（2）2sinsin5πeded2yxLxyyx≤第十章曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、1、D；2、C；3、A；4、B；5、B.二、1、3πa；2、4π；3、63π；4、4π3；5、211x.三、1、答案：23ππ222Iaba.提示：添加从0,0O沿0y到点2,0Aa的有向直线段1L，然后用格林公式.2、答案：32π3Ia.提示：利用变量“对等性”22231dddd3LLLLIysxszsas.3、答案：,,333abcmax39Wabc.提示：直线段:,,OMxtytzt，t从0变到1，功W为120ddd3dOMWyzxzxyxyztt再求W在条件2222221xyzabc下的最大值即可.4、答案：3dπ,,2Szsxyz.提示：曲面S在点,,Pxyz处的法向量为,,2xyz，切平面方程为：022xyXYzZ，点0,0,0O到平面π的距离12222,,44xyxyzz.5、答案：dd2dd3ddπIxzyzzyzxxyxy.提示：添加曲面1为平面xoy上被椭圆221014yxx≤≤所围的下侧，在和1所围封闭曲面上用高斯公式.注意到在1dd2dd3ddIxzyzzyzxxyxy的积分等于3ddDxyxy为0.6、提示：（1）左边=π0πsinsinsinsin0π0πedπedπe+edyxxxyxx，同理，右边=πsinsin0πe+edxxx（2）由（1）得sinsinededyxLxyyx=πsinsin0πe+edxxx，而由sinex和sinex泰勒展开式知道π20π2sindxx≤πsinsin0πe+edxxx，而π2205π2sindπ2xx.第九章重积分测试题一、选择题1、若区域D是xoy平面上以(1,1)，(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域，1D是D在第一象限中的部分，则(cossin)Dxyxydxdy().(A)12cossinDxydxdy;(B)2cossinDxydxdy(C)14(cossin)Dxyxydxdy(D)02、设(,)fxy连续，且(,)(,)ddDfxyxyfxyxy，其中D是xoy平面上由20,yyx和1x所围区域，则(,)fxy等于().(A)xy;(B)2xy;(C)1xy;(D)18xy3、设2222222123cosdd,cos()dd,cos()dd,DDDIxyxyIxyxyIxyxy其中22,1Dxyxy≤+，则().(A)321III;(B)123III;(C)213III;(D)312III4、设空间闭区域由2221xyz≤及z0≤确定，1为在第一挂限的部分，则().(A)1d4dxvxv;(B)1d4dyvyv;(C)1d4dzvzv;(D)1d4dxyzvxyzv5、设空间闭区域2222,,2zxyzxyxy≤≤+-，dIzv，则下列将I化为累次积分中不正确的是().(A)222π1200dddrrIrrzz;(B)π2π224000ddcossindI;(C)122201πdπ(2)dIzzzzz;(D)22222112004dddyxyxyIxyzz二、填空题1、设区域D为222xyR≤，则2222ddDxyIxyab的值等于()2、设22,1Dxyxy≤+，则22201limln(1)ddπxyrDexyxyr的值等于()3、积分2220dedyxIxy