高数的经济应用

第四节定积分在经济学上的应用第六章一、已知边际函数求总函数二、资金流的现值和未来值机动目录上页下页返回结束1.成本函数总成本=固定成本+可变成本平均成本(单位成本)=2.收益函数3.利润函数利润=总收益-总成本，即L(Q)=R(Q)-C(Q).复习收益=价格×销量，即R(Q)=PQ.机动目录上页下页返回结束边际的经济意义:当时,x改变一个单位,y改变4.边际个单位.5.常用的边际函数边际成本；边际收益；边际利润机动目录上页下页返回结束在处的边际值为.一、已知边际函数求总函数问题：已知某边际经济函数，求该总经济量.设某个经济函数u(x)的边际函数为,则有于是机动目录上页下页返回结束2.已知销售某产品的边际收益为，x为销售量，R(0)=0,则总收益函数为1.已知生产某产品的边际成本为，x为产量，固定成本为C(0),则总成本函数为机动目录上页下页返回结束3.设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产量，R(x)是收益函数,C(x)是成本函数，若L(x),R(x),C(x)均可导，则边际利润为：L(x)=R(x)-C(x).因此总利润为：机动目录上页下页返回结束例1生产某产品的边际成本函数为固定成本C(0)=1000,求生产x个产品的总成本函数.解例2已知边际收益为,设R(0)=0,求收益函数R(x).解机动目录上页下页返回结束例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；(2)如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解:(1)总收益函数:平均收益:机动目录上页下页返回结束解:(2)总收益为:平均收益:例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；(2)如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；机动目录上页下页返回结束例4：已知生产某产品x台的边际成本为(万元/台)，边际收入为(万元/台).(1)若不变成本为C(0)=10(万元/台),求总成本函数，总收入函数和总利润函数；(2)当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;解:(1)总成本为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束由于当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是总收入为总利润函数为机动目录上页下页返回结束（万元）(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;（万元）机动目录上页下页返回结束由变化率求总量例5某工厂生产某商品,在时刻t的总产量变化率为(单位/小时).求由t=2到t=4这两小时的总产量.解总产量例6生产某产品的边际成本为,当产量由200增加到300时,需追加成本为多少?解追加成本机动目录上页下页返回结束例7在某地区当消费者个人收入为x时,消费支出W(x)的变化率,当个人收入由900增加到1600时,消费支出增加多少?解机动目录上页下页返回结束设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和为1.单利假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.二、收益流的现值与未来值机动目录上页下页返回结束A0＋A0r＝A0(1＋r),n年后所得利息nA0r,本利和为An=A0+nA0r=A0(1+nr)．这就是单利的本利和计算公式．第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的2.复利这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被计入下一期的本金.就像常说的“利滚利”.机动目录上页下页返回结束这就是一般复利的本利和计算公式.本利和为A2＝A0(1＋r)＋A0(１＋r)r＝A0(１＋r)2，照此计算,n年后应得本利和为An＝A0(1＋r)n．资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分n期计算,年利率仍为r,于是每期利率为r/n,则一年后的本利和为t年后本利和为At＝A０(1＋r/n)nt，若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n→∞时,得t年后本利和为这就是连续复利公式．A1＝A０(1＋r/n)n，因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有：（1）已知现值为A0,则t年后的未来值为（2）已知未来值为At,则贴现值为期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时3.连续复利每刻计算复利的方式称为连续复利.贴现值：时刻t的一个货币单位在时刻0时的价值.机动目录上页下页返回结束At＝A０ert，A０＝Ate-rt我们知道,若以连续复利率r计息,一笔P元人民币从现在起存入银行,t年后的价值(将来值)若t年后得到B元人民币,则现在需要存入银行的金额(现值)下面先介绍收益流和收益流量的概念.若某公司的收益是连续地获得的,则其收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流.而收益流对时间的变化率称为收益流量.4、收益流的现值和将来值机动目录上页下页返回结束收益流量实际上是一种速率,一般用R(t)表示;若时间t以年为单位,收益以元为单位,则收益流量的单位为:元/年.(时间t一般从现在开始计算).若R(t)=b为常数,则称该收益流具有均匀收益流量.将来值：现在一定量的资金在未来某一时点上的价值现值：将来某一时点的一定资金折合成现在的价值，俗称“本金”例如：假设银行利率为5%,你现在存入银行10000块,一年以后可得本息10500元.10500为10000的将来值,而10000为10500的现值.机动目录上页下页返回结束和单笔款项一样,收益流的将来值定义为将其存入银行并加上利息之后的本利和;而收益流的现值是这样一笔款项,若把它存入可获息的银行,将来从收益流中获得的总收益,与包括利息在内的本利和,有相同价值.在讨论连续收益流时,为简单起见,假设以连续复利率r计息.机动目录上页下页返回结束若有一笔收益流的收益流量为R(t)(元/年),下面计算其现值及将来值.考虑从现在开始(t=0)到T年后这一时间段.利用元素法,在区间[0,T]内,任取一小区间[t,t+dt],在该小区间内将R(t)近似看作常数,则应获得的金额近似等于R(t)dt(元).从现在(t=0)算起,R(t)dt这一金额是在t年后的将来而获得,因此在[t,t+dt]内,从而，总现值为收益的现值机动目录上页下页返回结束在计算将来值时,收入R(t)dt在以后的(T–t)年内获息,故在[t,t+dt]内例8假设以年连续复利率r=0.1计息(1)求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现值和将来值;(2)将来值和现值的关系如何?解释这一关系.从而，将来值为收益流的将来值机动目录上页下页返回结束(2)显然若在t=0时刻以现值作为一笔款项存入银行,以年连续复利率r=0.1计息,则20年中这笔单独款项的将来值为而这正好是上述收益流在20年期间的将来值.机动目录上页下页返回结束解(1)例9某公司投资100万元(总投资的现值已知）建成1条生产线，并于1年后取得经济效益，年收入为，设银行年利率为10%，问公司多少年后收回投资30万元（收益流量）．Ttt01.0100de30解设T年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度，因此有100)e1(301.0T即解得T=4.055，即在投资后的4.055年内可收回投资．机动目录上页下页返回结束一般来说,以年连续复利率r计息,则在从现在起到T年后（该收益流的将来值等于将该收益流的现值）作为单笔款项存入银行T年后的将来值.例10设有一项计划现在(t=0)需要投入1000万元（投入资金的现值）,在10年中每年收益为200万元（收益流量）.若连续利率为5%,求收益资本价值W.(设购置的设备10年后完全失去价值)解资本价值=收益流的现值–投入资金的现值机动目录上页下页返回结束例11某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,每年的收益流量为10万元,求内部利率(注:内部利率是使收益价值等于成本的利率).解由收益流的现值等于成本,得可用近似计算得机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束设某耐用品售价100000元，首付50%，余下部分（50000）分期付款，10年付清。每年付款数相同。若年贴现率为4%，按连续复利计算，每年应付款多少？某一机器使用寿命为10年。如购进此机器需要55000元。如租用此机器每月租金为600元。设资金的年利率为5%，按连续复利计算，问购进机器与租用机器哪一种方式合算？作业