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第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§1若干准备知识1.1.1代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。1.1.2数域的定义定义（数域）设是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。例1.1典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q(i)={i|∈Q}，其中i=。命题任意数域K都包括有理数域Q。证明设为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素。于是。进而Z,。最后，Z，，。这就证明了Q。证毕。1.1.3集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差)设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。定义（集合的映射）设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。若都有则称为单射。若都存在，使得，则称为满射。如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。1.1.4求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域上个数，我们使用如下记号：,.当然也可以写成,.2.求和号的性质.容易证明，事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和，再求总和即可。第一学期第二次课§2一元高次代数方程的基础知识1.2.1高等代数基本定理及其等价命题1.高等代数基本定理设为数域。以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体。如果，则称为的次数，记为。定理（高等代数基本定理）C的任一元素在C中必有零点。命题设是C上一个次多项式，是一个复数。则存在C上首项系数为的次多项式，使得证明对作数学归纳法。推论为的零点，当且仅当为的因式（其中）。命题（高等代数基本定理的等价命题）设为C上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使证明利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。2．高等代数基本定理的另一种表述方式定义设是一个数域，是一个未知量，则等式（1）（其中）称为数域上的一个次代数方程；如果以带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在中的一个根。定理（高等代数基本定理的另一种表述形式）数域上的次代数方程在复数域C内必有一个根。命题次代数方程在复数域C内有且恰有个根（可以重复）。命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式，，如果存在整整数,,及个不同的复数，使得，则。1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性设，其中。设的复根为（可能有重复），则所以；；我们记；；；（称为的初等对称多项式）。于是有定理2.5(韦达定理)设，其中。设的复根为。则；；命题给定R上次方程，，如果i是方程的一个根，则共轭复数i也是方程的根。证明由已知，.两边取复共轭，又由于R，所以.推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。证明因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。第一学期第三次课§3线性方程组1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换举例说明解线性方程组的Gauss消元法。定义（线性方程组的初等变换）数域上的线性方程组的如下三种变换（1）互换两个方程的位置；（2）把某一个方程两边同乘数域内一个非零元素；（3）把某一个方程加上另一个方程的倍，这里的每一种都称为线性方程组的初等变换。容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解证明设线性方程组为（*）经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）的解也是（*）的解即可。设是（*）的解，即（*）中用代入后成为等式。对其进行初等变换，可以得到代入（**）后也成为等式，即是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。证毕。1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换定义（数域上的矩阵）给定数域K中的个元素（，）。把它们按一定次序排成一个行列的长方形表格称为数域K上的一个行列矩阵，简称为矩阵。定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵）线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到内作为最后一列，得到的矩阵称为方程组的增广矩阵。定义(矩阵的初等变换)对数域上的矩阵的行（列）所作的如下变换（1）互换两行（列）的位置；（2）把某一行（列）乘以K内一个非零常数；（3）把某一行（列）加上另一行（列）的倍，这里称为矩阵的行（列）初等变换。定义（齐次线性方程组）数域上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组。这类方程组的一般形式是命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；证明对变元个数作归纳。说明线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上，在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果所给的是数域上的线性方程组，那么做初等变换后仍为上的线性方程组，所求出的解也都是数域中的元素。因此，对上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域中进行。第一学期第四次课第二章向量空间与矩阵第一节m维向量空间2.1.1向量和m维向量空间的定义及性质定义（向量）设是一个数域。中个数所组成的一个元有序数组称为一个m维向量；（）称为一个m维列向量；而称为一个m维行向量。我们用记集合。定义（中的加法和数量乘法）在中定义加法如下：两个向量相加即相同位置处的数相加，即.在定义数量乘法为用中的数去乘向量的各个位置，即对于某个，定义（维向量空间）集合和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域上的m维向量空间。命题（向量空间的性质）向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中表示数域，表示中的向量）：（1）加法结合律：；（2）加法结合律：（3）向量（0,0,……,0）（记为）具有性质：对于任意，有；（4），令，称其为的负向量，它满足；（5）对于数1，有（6）对内任意数,，有；（7）对内任意数,，有；（8）对内任意数，有。2.1.2线性组合和线性表出的定义定义（线性组合）设，，则称向量为向量组的一个线性组合。定义（线性表示）设，。如果存在，使得，则称可被向量组线性表示。2.1.3向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述定义（线性相关与线性无关）设。如果存在不全为零的，使得，则称线性相关，否则称为线性无关。注意：根据这个定义，线性无关可以表述如下：若，使得，则必有。如果，显然线性相关当且仅当齐次线性方程组有非零解，线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。命题设，则下述两条等价：1）线性相关；2）某个可被其余向量线性表示。证明1）2）.由于线性相关，故存在不全为零的个数，使得。不妨设某个。于是，由向量空间的性质有2）1）.如果某个可被其余向量线性表示，即存在，使得.由向量空间的性质有.于是线性相关。证毕。推论设，则下述两条等价：1）线性无关；2）任一不能被其余向量线性表示。第一学期第五次课2.1.4向量组的线性等价和集合上的等价关系定义（线性等价）给定内的两个向量组，（*），（**）如果向量组（**）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组（*）中的每个向量也都能被向量组（**）线性表示，则称向量组（*）和向量组（**）线性等价。定义（集合上的等价关系）给定一个集合，上的一个二元关系“~”称为一个等价关系，如果“~”满足以下三条：（1）反身性：；（2）对称性：；（3）传递性：。与等价的元素的全体成为所在的等价类。命题若与在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。证明记所在的等价类为，的等价类为。若它们的交集非空，则存在，于是有。由等价关系定义中的对称性和传递性即知，与和在不同的等价类矛盾。这就证明了和所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。综上可知，命题成立。证毕。命题给定内两个向量组，（1），（2）且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。如果向量能被向量组（2）线性表示，则也可以被向量组（1）线性表示。证明若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组（1）线性表示，则存在，使得().（i）由于能被向量组（2）线性表示，故存在，使得.将（i）代入，得，即可被线性表示。由此易推知命题线性等价是的向量组集合上的等价关系。2.1.5向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩定义（向量组的极大线性无关组）设为中的一个向量组，它的一部分组称为原向量组的一个极大线性无关组，若（1）线性无关；（2）中的每一个向量都可被线性表出。容易看出向量组和线性等价。引理给定上的向量组和，如果可被线性表出，且，则向量组线性相关。证明由于可被线性表出，故存在，使得（*）设.（**）将（*）代入（**），得.设各系数均为零，得到，（***）（***）是一个含有个未知量和个方程的其次线性方程组，而，故方程组（***）有非零解，于是存在不全为零的，使得（**）成立。由线性相关的定义即知向量组线性相关。定理线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。证明设和中的线性等价的向量组。设向量组和分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。由于可将中的每一个向量线性表出，知（否则由引理知向量组线性相关，矛盾）。同理。于是。推论任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。定义（向量组的秩）对于内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量的数量称为该向量组的秩。第一学期第六次课第二章§2矩阵的秩2.1.1矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置定义2.1矩阵的行秩与列秩。一个矩阵的行向量组的秩成为的行秩，它的列向量组的秩称为的列秩。命题2.1矩阵的行（列）初等变换不改变行（列）秩；证明只需证明行变换不该行秩。容易证明，经过任意一种初等行变换，得到的行向量组与原来的向量组线性等价，所以命题成立。证毕。定义2.2矩阵的转置把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵的转置矩阵。命题2.2矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。证明只需证明行变换不改变列秩。列变换可用矩阵的转置证得。假设的列向量为，它的一个极大线性无关部分组为，而经过初等行变换之后的列向量为，只需证明是变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可。只需分别证明向量组（*）线性无关和中的任意一个向量都可以被（*）线性表出。构造方程，由于线性无关，线性方程组只有零解。而方程是由经过初等行变换得来的，而初等行变换是同解变换，所以只有零解，于是线性无关。对于的任意一个列向量，都可被线性表出，利用初等行变换是同解变换同样可以证明经过初等行变换后，可以被（*）线性表出。证毕。推论矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵的秩记为r；证明设，不妨考虑，经过行、列调换后，可使左上角元素不等于零。用三种行、列变换可使矩阵化为如下形式其中(**)代表一个矩阵。若（**）不是零矩阵，重复上面做法，归纳下去，最后得到形如的一个矩阵，可知，矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。于是由初等变换可逆和推论可以知道，矩阵的行秩等于列秩。定义2.3一个矩阵的行秩或列秩成为该矩阵的秩，记作。2.2.2矩阵的相抵定义2.4给定数域上的矩阵和，若经过初等变换能化为，则称矩阵和相抵。命题2.3相抵是等价关系，且秩是相抵等价类的完全不变量。证明逐项验证等价类的定义，可知相抵是等价关系；由于初等变换不改变矩阵的秩，于是矩阵的秩是等价类的完全不