2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练-相似形的综合题

2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练相似形的综合题1/9相似形的综合题►类型一以三角形为背景的相似形综合题1．如图4－ZT－1，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.(1)求证：AD∥BC；(2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G.若AF＝4，求BC的长．图4－ZT－12．如图4－ZT－2，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B.点E在AD边上，CD＝CE.(1)求证：△ABD∽△CAE；(2)若AB＝6，AC＝92，BD＝2，求AE的长．图4－ZT－23．［2017·繁昌县模拟］如图4－ZT－3，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为三角形内一点，且∠ACD＝∠DAB＝∠DBC.(1)求∠CDB的度数；(2)求证：△DCA∽△DAB；(3)若CD的长为1，求AB的长．图4－ZT－32018年秋沪科版九年级数学上册专题训练相似形的综合题2/9►类型二与平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合图4－ZT－44．［2016·安徽］如图4－ZT－4，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的点H处．有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝32S△FGH；④AG＋DF＝FG.其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．5．［2016·定西］如图4－ZT－5，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；(2)OA2＝OE·OF.图4－ZT－56．如图4－ZT－6，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，连接AC，DE.DE分别交BC，AC于点F，G，且CD·AE＝AC·AG.2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练相似形的综合题3/9求证：(1)△ABC∽△AGE；(2)AB2＝DE·DG.图6－ZT－67．［2017·瑶海区二模］如图4－ZT－7，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，分别以AD，BC为斜边向矩形外作Rt△ADF≌Rt△CBE，延长FA，EB交于点G.(1)求证：△ADF∽△BAG；(2)若DF＝4，请连接EF并求出EF的长．图4－ZT－7►类型三与函数的综合8．如图4－ZT－8，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，矩形DEFG的顶点位于△ABC的边上，设EF＝x，S四边形DEFG＝y.(1)填空：自变量x的取值范围是________；2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练相似形的综合题4/9(2)求出y关于x的函数表达式；(3)请描述y随x的变化而变化的情况．图4－ZT－89．如图4－ZT－9，已知点A在反比例函数y＝kx(x＜0)的图象上，作Rt△ABC，D为斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，△BCE的面积为8.(1)求证：△EOB∽△ABC；(2)求反比例函数的表达式．图4－ZT－92018年秋沪科版九年级数学上册专题训练相似形的综合题5/9教师详解详析1．解：(1)证明：∵AD平分∠CAE，∴∠DAG＝12∠CAG.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠CAG＝∠B＋∠ACB，∴∠B＝12∠CAG，∴∠B＝∠DAG，∴AD∥BC.(2)∵CG⊥AD，∴∠AFC＝∠AFG＝90°.在△AFC和△AFG中，∵∠CAF＝∠GAF，AF＝AF，∠AFC＝∠AFG，∴△AFC≌△AFG(ASA)，∴CF＝GF.∵AD∥BC，∴△AGF∽△BGC，∴GF∶GC＝AF∶BC＝1∶2，∴BC＝2AF＝2×4＝8.2．解：(1)证明：∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.∴∠ADB＝∠CEA.∵∠DAC＝∠B，∴△ABD∽△CAE.(2)由(1)得△ABD∽△CAE，∴ABAC＝BDAE.∵AB＝6，AC＝92，BD＝2，∴AE＝32.3．解：(1)∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.又∵∠ACD＝∠DAB，∴∠ACD＋∠CAD＝∠DAB＋∠CAD＝∠CAB＝45°，∴∠CDA＝135°.同理可得∠ADB＝135°.∴∠CDB＝360°－∠CDA－∠ADB＝360°－135°－135°＝90°.(2)证明：∵∠CDA＝∠ADB，∠ACD＝∠DAB，∴△DCA∽△DAB.(3)∵△DCA∽△DAB，2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练相似形的综合题6/9∴CDAD＝ADBD＝ACAB＝12.又∵CD＝1，∴AD＝2，BD＝2.又∵∠CDB＝90°，∴BC＝CD2＋BD2＝12＋22＝5.在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝5，∴AB＝AC2＋BC2＝10.4．①③④[解析]如图，∵△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10.在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，∴AF＝102－62＝8，∴DF＝AD－AF＝10－8＝2.设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD－CE＝6－x.在Rt△DEF中，∵DE2＋DF2＝EF2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得x＝103，∴DE＝83.∵△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的点H处，∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，∴∠2＋∠3＝12∠ABC＝45°，∴①正确；HF＝BF－BH＝10－6＝4.设AG＝y，则GH＝y，GF＝8－y.在Rt△HGF中，∵GH2＋HF2＝GF2，∴y2＋42＝(8－y)2，解得y＝3，∴AG＝GH＝3，GF＝5.∵∠A＝∠D，ABDE＝683＝94，AGDF＝32，∴ABDE≠AGDF，∴△ABG与△DEF不相似，∴②错误；∵S△ABG＝12×6×3＝9，S△FGH＝12·GH·HF＝12×3×4＝6，∴S△ABG＝32S△FGH，∴③正确；∵AG＋DF＝3＋2＝5，而FG＝5，∴AG＋DF＝FG，∴④正确．故答案为①③④.2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练相似形的综合题7/95．[解析](1)由EC∥AB，∠EDA＝∠ABF，可证得∠DAB＝∠ABF，即可证得AD∥BC，则得四边形ABCD为平行四边形；(2)由EC∥AB，可得OAOE＝OBOD.由AD∥BC，可得OBOD＝OFOA，等量代换得出OAOE＝OFOA，即OA2＝OE·OF.证明：(1)∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB.∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF，∴AD∥BC.又∵DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形．(2)∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，∴OAOE＝OBOD.∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，∴OBOD＝OFOA，∴OAOE＝OFOA，∴OA2＝OE·OF.6．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD.∵CD·AE＝AC·AG，∴ABAG＝ACAE.又∵∠BAC＝∠GAE，∴△ABC∽△AGE.(2)∵△ABC∽△AGE，∴∠ACB＝∠E.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC∥AD，∴∠ACB＝∠CAD.∴∠CAD＝∠E.∵∠ADG＝∠ADE，∴△ADG∽△EDA，∴ADDE＝DGAD，即AD2＝DE·DG，∴AB2＝DE·DG.7．解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝90°，即∠DAF＋∠BAG＝90°.又∵∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠BAG，同理∠BCE＝∠GBA.∵△ADF≌△CBE，∴∠DAF＝∠BCE，∴∠DAF＝∠GBA.在△ADF和△BAG中，∵∠DAF＝∠GBA，∠ADF＝∠BAG，∴△ADF∽△BAG.2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练相似形的综合题8/9(2)如图，连接EF.∵在Rt△ADF中，AD＝5，DF＝4，∴AF＝3.∵△ADF∽△BAG，∴∠AFD＝∠G＝90°，ADAB＝DFAG＝AFBG，即510＝4AG＝3BG，∴AG＝8，BG＝6，∴FG＝AF＋AG＝3＋8＝11，EG＝EB＋BG＝DF＋BG＝4＋6＝10，∴在Rt△EFG中，EF＝FG2＋EG2＝221.8．解：(1)0＜x＜12(2)过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M.∵AB＝AC＝10，BC＝12，AN⊥BC，∴BN＝CN＝6，AN＝AB2－BN2＝8.∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴AMAN＝DGBC＝EFBC，即8－MN8＝x12，∴MN＝8－23x.∴y＝EF·MN＝x(8－23x)＝－23x2＋8x.(3)y＝－23x2＋8x＝－23(x－6)2＋24.当0＜x＜6时，y随x的增大而增大；当x＝6时，y的值达到最大值24；当6＜x＜12时，y随x的增大而减小．9．解：(1)∵在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO.又∵∠EOB＝∠ABC＝90°，∴△EOB∽△ABC.(2)∵△EOB∽△ABC，∴BCOB＝ABOE，∴BC·OE＝AB·OB.∵△BCE的面积为8，∴12BC·OE＝8，∴BC·OE＝16，∴k＝AB·OB＝BC·OE＝16，则反比例函数的表达式为y＝16x.2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练相似形的综合题9/9