双曲线的标准方程及其几何性质

1双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示，常数用2a表示。(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：22ax-22by=1(a＞0,b＞0)表示焦点在x轴上的双曲线；22ay-22bx=1(a＞0,b＞0)表示焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.3.双曲线的简单几何性质：标准方程22221xyab（0,0ab）22221yxab（0,0ab）图象,,abc关系222abc范围||,xayR||,yaxR顶点(,0)a(0,)a对称性关于,xy轴成轴对称、关于原点成中心对称渐近线byxaayb离心率(1)cea焦点(,0)Fc(0,)Fc等轴双曲线：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝2.4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。（1）通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．2(3)直线l被双曲线截得的弦长2212))(1(xxkAB或2212))(11(yyk，其中k是直线l的斜率，),(11yx，),(22yx是直线与双曲线的两个交点A，B的坐标，且212212214)()(xxxxxx，21xx，21xx可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为()A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2C．x2－y2＝2D．x2－y2＝12解析：由题意，设双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a0)，则c＝2a，渐近线y＝x，∴|2a|2＝2，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.答案：B例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点)2,3(P，离心率25e．(2)1F、2F是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且6021PFF，31221FPFS．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下．如双曲线的实轴在x轴上，设12222byax为所求．由25e，得4522ac．①由点)2,3(P在双曲线上，得12922ba．②，又222cba，由①、②得12a，412b．③若双曲线的实轴在y轴上，设12222byax为所求．同理有4522ac，19222ba，222cba．解之，得2172b（不合，舍去）．∴双曲线的实轴只能在x轴上，所求双曲线方程为1422yx．(2)设双曲线方程为12222byax，因cFF221，而2ace，由双曲线的定义，得3caPFPF221．由余弦，得212122212cos2)2(PFFPFPFPFPFc)60cos1(2)(21221PFPFPFPF，∴21224PFPFcc．又31260sin212121PFPFSFPF，∴4821PFPF．∴4832c，162c，得42a，122b．∴所求双曲线的方程为112422yx．三、巩固测试题1．到两定点0,31F、0,32F的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（D）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线2．方程11122kykx表示双曲线，则k的取值范围是（D）A．11kB．0kC．0kD．1k或1k3．双曲线14122222mymx的焦距是（C）A．4B．22C．8D．与m有关4．若ak0，双曲线12222kbykax与双曲线12222byax有（D）A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点5．过双曲线191622yx左焦点F1的弦AB长为6，则2ABF（F2为右焦点）的周长是（A）A．28B．22C．14D．126．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为()A．23B．2C.3D．1解析：双曲线x24－y212＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝3x或y＝－3x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝|43＋0|3＋1＝23.7．以椭圆15822yx的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（）AA．15322yxB．13522yxC．181322yxD．151322yx8．过点P(4,4)且与双曲线x216－y29＝1只有一个交点的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．49．经过两点)3,72(),26,7(BA的双曲线的方程为（）CA．1257522yxB．1257522xyC．1752522yxD．1752522xy10．已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（）A．221412xy-=B．221124xy-=C．221106xy-=D．221610xy-=11．已知P是双曲线191622yx上的一点，21,FF是双曲线的两个焦点，且12021PFF则21FPF的面积为（）DA．316B．39C．34D．3312．双曲线222516400xy的实轴长等于，虚轴长等于，顶点坐标为，焦点坐标为，渐近线方程为，离心率等于．13．直线1xy与双曲线13222yx相交于BA,两点，则AB=________12．6414．过点)1,3(M且被点M平分的双曲线1422yx的弦所在直线方程为。13．0543yx15．双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则m。双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，∴m0，且双曲线方程为2214xy，∴m=14。16．已知双曲线的离心率e＝52，且与椭圆x213＋y23＝1有共同的焦点，求该双曲线的方程．解：在椭圆中，焦点坐标为(±10，0)，∴c＝10，又e＝ca＝10a＝52，∴a2＝8，b2＝2.5∴双曲线方程为x28－y22＝1.17．已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足9021PFF，求21PFF的面积．解：∵P为双曲线1422yx上的一个点且1F、2F为焦点．∴4221aPFPF,52221cFF∵9021PFF，∴在21FPFRt中，202212221FFPFPF∵162212221221PFPFPFPFPFPF，∴1622021PFPF，∴221PFPF∴1212121PFPFSPFF18．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F,右顶点为(2,0)D,设点11,2A.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；18.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为1422yx(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由x=210x得x0=2x－1y=2210yy0=2y－21由,点P在椭圆上,得1)212(4)12(22yx,∴线段PA中点M的轨迹方程是1)41(4)21(22yx.19．已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线2xy交6椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2219xy.联立方程组22192xyyx,消去y得,21036270xx.设A(11,xy),B(22,xy),AB线段的中点为M(00,xy)那么:12185xx,0x=12925xx所以0y=0x+2=15.也就是说线段AB中点坐标为(-95,15).20．求两条渐近线为02yx且截直线03yx所得弦长为338的双曲线方程。解:设双曲线方程为x2-4y2=.联立方程组得:22x-4y=30xy,消去y得，3x2-24x+(36+)=0设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(11,xy),B(22,xy)，那么：1212283632412(36)0xxxx那么：|AB|=2221212368(12)83(1)[()4](11)(84)333kxxxx解得:=4,所以，所求双曲线方程是：2214xy21．中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点21,FF，且132||21FF，椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3︰7。（1）求这两条曲线的方程；（2）若P为这两条曲线的一个交点，求21cosPFF的值。21、解：（1）设椭圆的方程为1212212byax，双曲线方程为1222222byax，半焦距为13c，由已知得：23,677/3/422112121babaacacaa，故两条曲线分别为：1364922yx及14922yx（2）设21PFF，由余弦定理得：752||cos||||2||||221212221FFPFPFPFPF……①由椭圆定义得：196||||2||||212221PFPFPFPF……②由双曲线定义得：36||||2||||212221PFPFPFPF……③②–①得：72)cos1(||||21PFPF，①–③得：8)cos1(||||21PFPF所以54cos9cos1cos1。