高等代数(专升本)

第1页（共4页）韩山师范学院本科三年级插班生考试数学与应用数学专业高等代数试卷题号一二三四五六七八九十总分评卷人得分一、填空题（每题2分，共12分）1、设)(xp是)(xf的导数)(xf的1k重因式，则)(xp是)(xf的k重因式的充要条件是．2、设A是n阶方阵，则det(3A)=．3、设A都是n阶可逆方阵,满足aA2+bA+I=0，则A-1=．4、n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r，那么其基础解系含个解向量．5、欧氏空间中向量的长度=2，则,=．6、复数域上两个n元二次型等价的充要条件是它们_________．二、判断题（每题2分，共10分；在题后括号内打“√”或“×”）1．A、B都为n阶实方阵，detA=detB，则A=B．()2．等价的向量组含有相同个数的向量．()3．设δ，τ是n维向量空间V的两个线性变换．A，B分别是δ，τ关于V的基n,,,21的矩阵，当δτ时，必有．（）4．两个不同矩阵的特征根一定不同．（）5．在欧氏空间中V中，对任何实数k都有kk．（）三、选择题（每题3分，共18分；将正确的选项序号填在题中括号内）1．下列命题正确的是：（）A、如果)()()()(xhxfxgxf，那么)()(xhxg；B、如果)()()(xgxfxh，那么)()(xfxh或)()(xgxh；C、如果)()(xfxp，那么)())(),((xfxpxf；D、若既约分数sr为整系数多项式)(xf的有理根，则)1(frs而且)1(frs．2．n阶行列式D的元素ija的余子式ijM与ija的代数余子式ijA的关系是：（）A．ijijMA；B、ijijMA；C、ijjiijMA)1(；D、ijijMA3、设0是可逆矩阵A的非零特征根，则10是（）的一个特征根．A．—A；B．；C．2；D．1．4．若m,,,21与n,,,21都线性无关,则向量组m,,,1,n,,,1()．A.一定线性无关；B.不一定线性无关；C.一定线性相关；D.以上结论都不对.5、设A=)(ija,detA=0,b=),,,(21nbbb,X=),,,(21nxxx．其中A，b为已知，则第2页（共4页）线性方程组AX=b()．A.无解；B.有无穷多解；C.有唯一解；D.无解或有无穷多解．6、设A、B∈)(FMn，则A的列向量组与B的列向量等价当且仅当()．A.A＝B；B.detA＝detB；C.det(AB)≠0；D.秩A=秩B四、（8分）计算行列式D＝yyxx1111111111111111．五、（8分）判断方程组242131243121bxxbxxaxxaxx（其中2121bbaa）是否有解，有解时求其一般解．第3页（共4页）六、（10分）证明：),(),(222gfgf．七、（8分）证明：秩AB＝秩B的充分必要条件是(AB)X=0与BX=0有相同的解．八、(8分)设n阶方阵A满足A2=A，证明I+A可逆，且(I+A)-1=I－A．九、（8分）设V是数域F上的向量空间，1,VL和2是δ的两个不同的本征值，i是δ的属于i的本征向量，2,1i．证明：021，但它却不再是δ的本征向量，即F，2121．第4页（共4页）十、（10分）判定二次型ơ32312123222132128632,,xxxxxxxxxxxx是否正定．