高等代数(北大第三版)第一章多项式13

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式一、带余除法二、整除§1.3整除的概念对(),()[],()0,fxgxPxgx一定存在(),()[],qxrxPx使()()()()fxqxgxrx成立，其中(())(())rxgx或()0,rx一、带余除法定理并且这样的(),()gxrx是唯一决定的．称为除的商，为除()qx()gx()fx()rx()gx()fx的余式．§1.3整除的概念①若()0,fx则令()()0.qxrx结论成立．②若()0,fx设(),()fxgx的次数分别为,,nm证：当时，nm结论成立．显然取即有()0,()()qxrxfx()()()(),fxqxgxrx下面讨论的情形，nm假设对次数小于n的，()fx结论已成立．先证存在性．对n作数学归纳法．次数为０时结论显然成立．§1.3整除的概念设的首项为()fx,nax()gx,()mbxnm的首项为则与首项相同，1nmbaxgx()fx因而，多项式1()()-1=-gn-mfxfxbaxx的次数小于n或f1为0．若1=0,fx令1(),()0nmqxbaxrx即可．若1,fxn由归纳假设，存在11(),()qxrx使得111fxqxgxrx现在来看次数为n的情形．§1.3整除的概念其中1()rxgx或者1()0.rx于是111.nmfxbaxqxgxrx即有111(),nmqxbaxqxrxrx使()()()(),fxqxgxrx成立．的存在性得证．由归纳法原理，对(),()0,fxgx(),()qxrx§1.3整除的概念再证唯一性．,fxqxgxrx若同时有0.rxgxrx或＝其中0.rxgxrx或＝其中,fxqxgxrx和则qxgxrxqxgxrx即.qxqxgxrxrx－＝－§1.3整除的概念0,0qxqxgxrxrx若，由有－qxqxgxrxrx－＋＝－max,rr但,qxqxgxgx－＋矛盾．gx所以,qxqx从而.rxrx=唯一性得证．§1.3整除的概念a0121nnaaaaa0121nnabababab＋)00121nbabbbr附：综合除法的商式101()nnqxbxb和余式r可按下列计算格式求得：这里，若1(),nn-10nfxax+ax++a则xa()fx除110221,,,baabbaab1.nnraab112,nnnbaab§1.3整除的概念去除①求一次多项式xafx的商式及余式．②把fx表成xa的方幂和，即表成2012()()()fxccxacxa的形式．说明：综合除法一般用于§1.3整除的概念32,12fxxxxgxxi例1．求除的商式和余式gxfx解:由＋)12i１－１－１０12i42i98i98i52i2i１有2()()25298.fxgxxixii§1.3整除的概念１4１解:∵1０００００例２.把5()fxx表成1x的方幂和．１１１１１１１１１１１１=0c１232345=1c１１１136１3614１41110=2c5=4c10=3c55432(1)5(1)10(1)10(1)xxxxx5(1)1x§1.3整除的概念二、整除1．定义设(),()[],fxgxPx若存在()[]hxPx使()()()fxgxhx则称()gx整除(),fx记作()|().gxfx①时，称()|()gxfx()gx为()fx的因式，()fx为()gx的倍式．②()gx不能整除()fx时记作：()|().gxfx§1.3整除的概念③允许()0gx，此时有00(),()[]hxhxPx即00.区别：零多项式整除零多项式，有意义．00除数为零，无意义．00④当时，如果()|()gxfx()0,gx则除()gx所得的商可表成()fx().()fxgx§1.3整除的概念定理1(),()[],()0,fxgxPxgx2．整除的判定()|()()()0.gxfxgxfxrx除的余式§1.3整除的概念3．整除的性质1)对()[],fxPx有()|(),()|0;fxfxfx对()[],,0,fxPxaPa有|().afx即，任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式．时，与有相同的因式和倍式．0a()fx()afx2)若，则()|(),,(0).afxbgxabPa()|()fxgx§1.3整除的概念3)若()|()()|(),gxfxfxgx，则()()0.fxcgxc＝，证：()|()fxgx()|()gxfx12()().fxhxhxfx若()0,fx则()()P0fxcgxcc＝，,使得1()();gxfxhx1hx使得2()().fxgxhx2hx()0,gx＝()0fx，若121hxhx＝则§1.3整除的概念120.hxhx＝＝120hxhx＋＝12,hxhx皆为非空常数．4)若()|()()|()()|fxgxgxhxfxhx，，（整除关系的传递性）()()0fxcgxc＝，成立．故有§1.3整除的概念5)若()|()1,2,,ifxgxi=r，则对()[],1,2,,iuxPxi=r有1122()|(()()()()())rrfxuxgxuxgxuxgx注：反之不然．如212()1,()23,gxxgxx1122(()()()23,uxgxuxgxx1122()|()()()()fxuxgxuxgx()32,fxx122,(),uxuxx12()|(),()|().fxgxfxgx但§1.3整除的概念6)整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．例3．求实数满足什么条件时多项式,,mpq整除多项式3.xpxq21xmx§1.3整除的概念附：整数上的带余除法对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r，使a＝qb＋r，0.rb其中§1.3整除的概念作业P441.2)2.2)3.2)4.2)