高等代数前三章内容简单总结

高等代数前三章内容简单总结1.矩阵的初等行变换①把一行的倍数加到另一行上；②互换两行位置；③用一个非零数乘某一行。2.简化行阶梯行矩阵①它是阶梯形矩阵；②每个非零行的主元都是1；③每个主元所在的列的其余元素都是0。3.Gauss-Jordan算法①相应的阶梯形方程组出现“0=d（d≠0）”原方程组无解；②阶梯形矩阵的非零行数目r等于未知量个数n（r=n）原方程组有唯一解；③阶梯形矩阵的非零行数目r小于未知量个数n（r＜n）原方程组有无穷多解。4.推论①n元齐次线性方程组有非零解它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行数目r＜n；②n元齐次线性方程组如果方程的数目s小于未知量的数目n，那么它一定有非零解。5.行列式性质①行列互换，行列式的值不变；②行列式一行的公因子可以提出去；③行列式中若有某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余各行与原来行列式的相应各行相同；④两行互换，行列式反号；⑤两行相同，行列式的值为0；⑥两行成比例，行列式的值为0；⑦把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变。6.行列式按一行（列）展开①n阶行列式|𝐴|等于它的第i行元素与自己的代数余子式的乘积之和，即|𝐴|=𝑎𝑖1𝐴𝑖1+𝑎𝑖2𝐴𝑖2+⋯⋯+𝑎𝑖𝑛𝐴𝑖𝑛=∑𝑎𝑖𝑗𝐴𝑖𝑗𝑛𝑗=1；②n阶行列式|𝐴|等于它的第j列元素与自己的代数余子式的乘积之和，即|𝐴|=𝑎1𝑗𝐴1𝑗+𝑎2𝑗𝐴2𝑗+⋯⋯+𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑗=∑𝑎𝑙𝑗𝐴𝑙𝑗𝑛𝑙=1；③n阶行列式|𝐴|的第i行元素与第k行（k≠i）相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即𝑎𝑖1𝐴𝑘1+𝑎𝑖2𝐴𝑘2+⋯⋯+𝑎𝑖𝑛𝐴𝑘𝑛=0，当k≠i；④n阶行列式|𝐴|的第j列元素与第l列（j≠l）相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即𝑎1𝑗𝐴1𝑙+𝑎2𝑗𝐴2𝑙+⋯⋯+𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑙=0，当l≠j。7.Cramer法则①数域K上n个方程的n元线性方程组有唯一解系数行列式|𝐴|≠0；②数域K上n个方程的n元齐线性方程组只有零解系数行列式|𝐴|≠0；③数域K上n个方程的n元齐线性方程组有非零解系数行列式|𝐴|=0；④n个方程的n元线性方程组的系数行列式|𝐴|≠0时，它的唯一解是(|𝐵1||𝐴|,|𝐵2||𝐴|,⋯⋯,|𝐵𝑛||𝐴|)8.Laplace定理在n阶行列式|𝐴|中，取定第𝑖1，𝑖2，⋯⋯，𝑖𝑘行（𝑖1𝑖2⋯⋯𝑖𝑘），则这k行元素形成的所有k阶子式与它们自己的代数余子式的乘积之和等于|𝐴|，即：|𝐴|=∑𝐴(𝑖1，𝑖2，⋯，𝑖𝑘𝑗1，𝑗2，⋯，𝑗𝑘)1≤𝑗1𝑗2⋯𝑗𝑘≤𝑛(−1)(𝑖1+⋯+𝑖𝑘)+(𝑗1+⋯+𝑗𝑘)𝐴(𝑖1′，𝑖2′，⋯，𝑖𝑛−𝑘′𝑗1′，𝑗2′，⋯，𝑗𝑛−𝑘′)9.线性子空间V的非空子集U是子空间①α、β∈U，则α+β∈U；②若α∈U，k∈K，则kα∈U。10.线性相关与线性无关的向量组①𝐾𝑛中列向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑛线性相关有K中不全为0的数𝑐1，⋯，𝑐𝑛，使得𝑐1𝛼1+𝑐2𝛼2+⋯⋯+𝑐𝑛𝛼𝑛=0⃗；K上n元齐次线性方程组𝑥1𝛼1+𝑥𝛼2+⋯⋯+𝑥𝑛𝛼𝑛=0有非零解。②𝐾𝑛中列向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑛线性无关有K中全为0的数𝑐1，⋯，𝑐𝑛，使得𝑐1𝛼1+𝑐2𝛼2+⋯⋯+𝑐𝑛𝛼𝑛=0⃗；K上n元齐次线性方程组𝑥1𝛼1+𝑥𝛼2+⋯⋯+𝑥𝑛𝛼𝑛=0只有零解。③𝐾𝑠中，列（行）向量𝛼1，⋯，𝛼𝑛线性相关以𝛼1，⋯，𝛼𝑛为列（行）向量组的矩阵A的行列式|𝑨|=0；④𝐾𝑠中，列（行）向量𝛼1，⋯，𝛼𝑛线性无关以𝛼1，⋯，𝛼𝑛为列（行）向量组的矩阵A的行列式|𝑨|≠0；⑤α线性相关有k≠0使得kα=0⃗α=0⃗；从而α线性无关α≠0⃗；⑥向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑛线性相关（n≥2）其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出；从而向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑛线性无关其中每一个向量都不能由其余的向量线性表出；⑦设β可以由𝛼1，⋯，𝛼𝑠线性表出，则表出方式唯一𝛼1，⋯，𝛼𝑠线性无关；⑧设𝛼1，⋯，𝛼𝑠线性无关，如果𝛼1，⋯，𝛼𝑠，𝛽线性相关，那么β可以由𝛼1，⋯，𝛼𝑠线性表出。11.极大线性无关组、向量组的秩（1）向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠的一个部分组称为它的一个极大线性无关组，如果满足：①这个部分组线性无关；②从向量组的其余向量中（如果有）任取一个填进来，得到的新的部分组都是线性相关；（2）若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表出，则称（Ⅰ）可以由（Ⅱ）线性表出；（3）向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠与它的任意一个极大线性无关组等价；（4）向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠的任意两个极大线性无关组等价；（5）设向量组𝛽1，⋯，𝛽𝑟可以由向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠线性表出，如果r＞s，那么𝛽1，⋯，𝛽𝑟线性相关；（6）设向量组𝛽1，⋯，𝛽𝑟可以由向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠线性表出，如果向量组𝛽1，⋯，𝛽𝑟线性无关，那么r≤s；（7）等价的线性无关的两个向量组，所含向量的个数相等；（8）向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等；（9）向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠与它的任意一个极大线性无关组所含向量的个数称为向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠的秩，记作rank{𝛼1，⋯，𝛼𝑠}。（10）向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠线性无关rank{𝛼1，⋯，𝛼𝑠}=s；（11）若向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，则rank(Ⅰ)≤rank(Ⅱ)；（12）等价的向量组有相等的秩。12.基与维数、坐标（1）设V是数域K的线性空间，V的一个子集S如果满足下述两个条件：①S是线性无关的；②V中任意一个向量可以由S中的有限多个向量线性表出；则称S是V的一个基；（2）任何一个数域上的任一线性空间都有一个基；（3）若V是有限维的，则V的任意两个基所含向量的个数相等；（4）若V是无限维的，则V的任何一个基都是无限子集；（5）设dimV=n，则V中任一n+1个向量都线性相关；（6）设dimV=n，则V中任意n个线性无关的向量都是V的一个基；（7）设dimV=n，若V中每一个向量可以由向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠线性表出，则向量组𝛼1，⋯，𝛼𝑠是V的一个基；（8）设dimV=n，则V中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成V的一个基；（9）设dimV=n，W是V的一个子空间，则dimW≤dimV；若dimW=dimV，则W=V；（10）V的一个子集S，如果满足：①S是线性无关；②对于β∉S（若有的话），有S∪{β}线性相关；那么称S是V的一个极大线性无关集；（11）〈𝛼1，⋯，𝛼𝑠〉:={𝑘1𝛼1+⋯⋯+𝑘𝑠𝛼𝑠|𝑘1⋯⋯𝑘𝑠∈𝐾}则𝛼1，⋯，𝛼𝑠的一个极大线性无关组是〈𝛼1，⋯，𝛼𝑠〉的一个基；从而dim〈𝛼1，⋯，𝛼𝑠〉=rank{𝛼1，⋯，𝛼𝑠}。13.矩阵的秩（1）数域K上s×n阶梯形矩阵J的列秩=行秩=J的非零行的个数，并且J的主元所在的列构成J的列向量组的一个极大线性无关组；（2）矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩；（3）矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩；设A初等行变换→B，若B的第𝑗1，⋯⋯，𝑗𝑟列是B的列向量组的一个极大线性无关组，则A的第𝑗1，⋯⋯，𝑗𝑟列构成A的列向量组的一个极大线性无关组；（4）任一矩阵A的行秩=列秩；（5）设A初等行变换→J（阶梯形），则rank(A)=J的非零行的个数，并且如果J的主元在第𝑗1，⋯⋯，𝑗𝑟列，则A的第𝑗1，⋯⋯，𝑗𝑟列构成A的列向量组的一个极大线性无关组；（6）rank(A)=rank(𝐴′)；（7）矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩；（8）s×n非零矩阵A的秩等于A的不为0的子式的最高阶数；（9）设rank(A)=r，则A的不为0的r阶子式所在列（行）是A的列（行）向量组的一个极大线性无关组；（10）n级矩阵A满秩|𝐴|≠0。14.线性方程组有解判别定理（1）数域K上n元线性方程组有解它的增广矩阵与系数矩阵的秩相等；（2）数域K上n元线性方程组有非零解rank(A)＜n。15.齐次线性方程组解集的结构（1）设K上n元齐次线性方程组有非零解时，它的解空间W的维数dimW=n-rank(A)；把W的一个基称为齐次线性方程组的一个基础解系；（2）设𝜂1，⋯⋯，𝜂𝑛−𝑟是齐次线性方程组的一个基础解系，则齐次线性方程组的全部解为𝑘1𝜂1+⋯⋯+𝑘𝑛−𝑟𝜂𝑛−𝑟，其中𝑘1，⋯⋯，𝑘𝑛−𝑟∈K。16.非齐次线性方程组解集的结构（1）数域K上n元非齐次线性方程组的解集U为U=𝛾0+𝑊，其中𝛾0是方程组的一个特解，W是相应的齐次线性方程组的解空间，𝛾0+𝑊称为W型的一个线性流形或称为W的一个陪集；（2）设W的一个基为𝜂1，⋯⋯，𝜂𝑛−𝑟，则非齐次线性方程组的全部解为𝛾0+𝑘1𝜂1+⋯⋯+𝑘𝑛−𝑟𝜂𝑛−𝑟，其中𝑘1，⋯⋯，𝑘𝑛−𝑟∈K，𝛾0是非齐次线性方程组的一个特解。