高等代数期末卷1及答案

《高等代数Ⅰ》试题（第1页，共4页）沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷（1）题号一二三四五六七总分得分一、填空（共35分，每题5分）1．设42()49fxxxx,则(3)f69_..2．当t_2,-2.时,3()3fxxxt有重因式。3.令()fx,()gx是两个多项式,且33()()fxxgx被21xx整除,则(1)f0_,(1)g_0.4.行列式310210621011320123。5.矩阵的积410103111321022011349219911。6.150003102110050110237.1234123412342202220430xxxxxxxxxxxx的一般解为134234523423xxxxxx,34,xx任意取值。得分班级：学号：姓名：装订线《高等代数Ⅰ》试题（第2页，共4页）二、（10分）令()fx,()gx是两个多项式。求证((),())1fxgx当且仅当(()(),()())1fxgxfxgx。证：必要性.设(()(),()())1fxgxfxgx。（1%）令()px为()(),()()fxgxfxgx的不可约公因式，（1%）则由()|()()pxfxgx知()|()pxfx或()|()pxgx。(1%)不妨设()|()pxfx，再由()|(()())pxfxgx得()|()pxgx。故()|1px矛盾。(2%)充分性.由(()(),()())1fxgxfxgx知存在多项式(),()uxvx使()(()())()()()1uxfxgxvxfxgx,(2%)从而()()()(()()())1uxfxgxuxvxfx,(2%)故((),())1fxgx。(1%)三、(16分),ab取何值时，线性方程组12312312321(21)31(3)21axbxxaxbxxaxbxbxb有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。解：21212131011032100122201011000122abababbabbbbbabbbb(5%)当2(1)0ab时，有唯一解：1235222,(1)+11bbxxxabbb，；(4%)当1b时，有无穷解：3210,1,xxax1x任意取值；当a0,5b时，有无穷解：1412333,,,xkxxk任意取值；(3%)当1b或015abb且且时，无解。(4%)得分得分《高等代数Ⅰ》试题（第3页，共4页）四、(10分)设12,,...,naaa都是非零实数，证明123121111...11111...111111...11...(1).............111...11nniinaaaaaaaa证:对n用数学归纳法。当n=1时,111111(1)Daaa,结论成立(2%);假设n-1时成立。则n时nD=112233111...10111...11111...10111...11111...10111...11..........................111...1111...11naaaaaaa=1211...nnnaaaaD(4%)现由归纳假设1112111...1nnniiDaaaa有nD=1211...nnnaaaaD=112112111......1nnnniiaaaaaaaa=12111...1nnniiaaaaa,(3%)故由归纳原理结论成立。(1%)五、(10分)证明4()1fxx在有理数域上不可约。证:令1xy得(1%)432()()4642gyfxyyyy。(3%)取素数p=2满足2|2,2|4,2|6,2|4,且2不整除1,4不整除2.(2%)再据艾茵斯坦茵判别法知432()4642gyyyyy在有理数域上不可约，（2%）得分得分《高等代数Ⅰ》试题（第4页，共4页）从而4()1fxx在有理数域上不可约（2%）六、（9分）令A为数域F上秩为r的mn矩阵，0r。求证：存在秩为r的mr矩阵F和秩为r的rn矩阵G,使得AFG。证:A为数域F上秩为r的mn矩阵，0r,则存在mm可逆阵P和nn可逆阵Q使000rIAPQ.（3%）进而令,00rrIFPGIQ（4%）就得AFG（2%）.七、（10分）设A,B是nn矩阵,且AB,AB可逆。求证22nn矩阵ABPBA可逆,且求1P。证:||||||00ABABBABBPABABBABAAAB，故P可逆（5%）令1XYPTS有00nnIABXYIBATS.（1%）进而00nnAXBTIAYBSBXATBYASI（1%），解得11111()()21()()2XABABYABABTYSX（3%）得分得分