高等代数矩阵习题

题型一求数值型矩阵的逆矩阵基本方法有：1.定义法：设A的逆矩阵为X，由AX=E（或XA=E），求出X即可。2.公式法：3.初等变换法：AAA11)()(1AEEA4.分块求逆法：若A能分成以下类型之一时00,0,0,0021122221112212112211AAAAAAAAAA当A11，A22可逆时，可用分块求逆公式进行计算例1.设A1，A2分别为m,n阶矩阵，试求的逆矩阵。4321AAAAA解：43211-XXXXA令得nmEXAXAXAXAXAXAEXAXA442342213413321100则1314211)(AAAAX1211342112)(AAAAAAX1314213143)(AAAAAAX1211344)(AAAAX即1211341314213141211342111314211)()()()(AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA例2.设A，B，A+B都是可逆矩阵，试求：（A-1+B-1）-1。解：（1）A-1+B-1=B-1（BA-1+E）=B-1（BA-1+AA-1）=B-1（A+B）A-1（2）（A-1+B-1）-1=B（A+B）-1A题型二A为抽象矩阵，讨论A的可逆性1.证明A可逆的方法（1）把已知矩阵等式写为AB=C的形式，│AB│=│A││B│=│C│≠0知│A│≠0，从而可逆；（2）证明AX=0只有零解，则│A│≠0，从而可逆；（3）证明的特征值全不为零即可。2.证明A不可逆的方法（1）反证法，假设A可逆，再在等式两边乘以A-1，导出矛盾；（2）直接计算│A│=0；（3）证明A有零的特征值；（4）证明AX=0只有非零解，则A不可逆。例1.设n阶矩阵A满足关系式A3+A2-A-E=0，证明A可逆，并求A-1。解：由A3+A2-A-E=0可得A（A2-A-E）=E从而│A（A2-A-E）│=│（A2-A-E）││A│=1于是│A│≠0，故A可逆，且A-1=A2-A-E例2.设A，B为n阶矩阵，且E-AB可逆，证明E-BA可逆。解：用反证法设E-AB不可逆，则存在X≠0，使（E-AB）X=0即X=BAX于是AX=ABAX，令Y=AX，则Y≠0，否则若Y=0，则有X=BAX=BY=0，这与X≠0矛盾，从而有Y=ABY,Y≠0即（E-AB）Y=0,Y≠0这与E-AB可逆矛盾，故E-AB不可逆题型三考查矩阵运算的特殊性矩阵运算不满足交换律AB≠BA，涉及到两个矩阵是否可交换，一般联想到逆矩阵的定义；但矩阵运算满足结合律：A(BC)=(AB)C，巧妙地运用结合律往往可以简化计算。例1.设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C为？解：由B=E+AB，C=A+CA，知（E-A）B=E，C（E-A）=A，可见，E-A与B互为逆矩阵，于是B（E-A）=E,从而有（B-C）（E-A）=E-A，而E-A可逆，故B-C=E。例2.解：.AAA333222111A10042，，，求设3332221116A6PQ(QP)(QP)QP(QP)(QP)PQPQPQAA636A6A6AAAA6A6PQQQPPPQPQA6321111QPPQA111Q321P111321333222111A999999100222242）（于是，，则，令因为题型四解矩阵方程（1）含有未知矩阵的等式称为矩阵方程，解矩阵方程的问题，本质上是考查矩阵的运算，特别是乘法和逆运算，因为在解矩阵方程的过程中，应尽量利用矩阵和运算性质先化简，再计算。（2）矩阵方程的基本形式有：AX=B，XA=B，AXB=C，若A为可逆矩阵时，其解分别为X=A-1B，X=BA-1以及X=A-1CB-1（这里要求B可逆）。（3）当A不可逆时，矩阵方程一般应转化为解线性方程组。例1。的伴随矩阵，求矩阵是其中，满足，矩阵设矩阵XAA2XAXAX11-1111-1-11A1-解：（若先计算出方程中的及A-1，然后再解方程求X，则计算过程会十分复杂，为了避免求及A-1，可用公式在等式两边同时左乘矩阵A进行化简。）A,EAAAAA解：2AXAAXAAA-1，得两边同乘1-2A-EAXEX2A-EA2AXEXAEAAA）（，从而有）（即，上式化为利用公式.10111001141111-1-1111-121X111-1-1111-122A-EA411-1111-1-11A1-故，，由于例1。的伴随矩阵，试求为为单位矩阵，，，其中满足设矩阵BAAE10002-0001A8E-2BABAABA,8E-2ABBA8AA-2ABAABAAAAAAEAAA1-1-1--1即得，，再分别右乘，等式两边分别左乘利用公式.20004-000240002-00048EA-2A8B1-）（从而解：题型五求矩阵的秩例1.A),,,2,1(0.0,A212221212111）求秩（其中设nibabababababababababaiinnnnnn解：因为A的任一二阶子式1A,0）于是秩（ljkjlikibabababa而A为非零矩阵，故秩（A）≥1，从而秩（A）=1的秩。试求矩阵设三阶矩阵例A,111111A2.xxx2A02-112-2-1112-1112-A0A231A111111111A0A123A0A211,)1)(2(1111111(2）显然秩（，，这时有二阶子式，且时，）当（，），显然秩（，且时，）当（，），秩（时，且）当（故）：方法解xxxxxxxxx2A231A123A0A211,)1)(2(00)1(10111)1(0)1(10111111111111112(2）时，秩（）当（，）时，秩（）当（，），秩（时，且）当（矩阵的秩，知于是由初等变换不改变）：方法解xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxA