高等代数第二套

第1页（共6页）南京晓庄学院高等代数课程考试试卷卷（B）2011–2012学年度第1学期教育科学学院11级共6页教研室主任审核签名：院（系）领导审核签名：命题教师：赵东金校对人：刘娟娟班级姓名学号得分序号一二三四五六七八九总分得分阅卷人复核人一、选择题（每小题2分，共20分）1．a是非零常数，f(x)F[x]，a与f(x)满足（）①a与f(x)互素②a与f(x)不互素③a不整除f(x)④f(x)整除a2．设A和B都是n阶方阵，O表示零矩阵，若AB＝O，则（）①A和B皆非奇异②A＝O或B＝O③A和B可能都不是零矩阵④A可逆，B不可逆3．设S=875351,T=261850,则下列各式有意义的是()①ST②S+T③ST④ST4．设A，B是两个n阶矩阵，若AB＝BA＝kB，则当k是任一实数时，A是（）①单位矩阵②数量矩阵③零矩阵④非奇异矩阵第2页（共6页）5．若方阵A，B满足(A＋B)(A－B)＝A2－B2，则下列结论成立的是（）①A＝B＝0②A和B都是单位矩阵③A＋B＝B＋A④AB＝BA10326.31012354矩阵的秩等于()①3②1③4④27.设A是方阵,则不与“A是可逆矩阵”等价的命题是()①仅通过列初等变换可将A化为单位矩阵②通过一些初等变换可将A化为对角形矩阵③A可以表示为若干个初等矩阵的乘积④A的行列式不等于零8.设A是奇数阶方阵,则下列结论一定成立的是()①|A+A|=0②|A+A|0③|A-A|=0④|A+A|09.设A为m×n矩阵，则下列结构正确的是（）①当m=n时，齐次线性方程组AX=0仅有零解②当mn时，齐次线性方程组AX=0有非零解③当m≥n时，非条线性方程组AX=B有唯一解④当mn时，非齐线性方程组AX=B有无穷多解10.设S是数环，则下列说法错误的是()①S必包含数0②S必包含数1③S必关于加法、乘法封闭；④S一定是复数集的子集第3页（共6页）二、填空题（每小题3分，共30分）11.排列1,3,5，…，2k-1,2,4,6，…，2k的反序数是.12.如果1a25b4897成奇数列，则a=，b=.13.2x除53242772xxx的商式是，余式是.14.设四阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaadaaaaaaaa，如果132324ikaaaa是d中带正号的某项，那么i=，k=.15.多项式32()331fxxxx在R上的标准分解式是.16.计算1234123400000abcddddeeee=.17.设3222()3+232,()32fxxxxgxxx，则((),())fxgx.18.若1111102202,11020X则X=.19.设矩阵B与C可逆，则分块矩阵00BC的逆矩阵是.20.矩阵211123124121145651826102610A的秩()rA=.第4页（共6页）三、计算题（每小题8分，共32分）21.在4P中，求向量组1234(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,1),(1,1,1,1)的一个极大无关组.22.求下列矩阵方程的解)1,0(110111310213412X第5页（共6页）23.计算n阶行列式24.解线性方程组00010001000001nababababdabab12312341234123412342231,22,2334,3,799517.xxxxaxxxxxxxxxxxxxxx第6页（共6页）四、证明题（共18分）25.证明奇数阶反对称行列式的值为零.（8分）26.证明任一n阶矩阵都可以表成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，并且这种表示法是唯一的.（10分）第7页（共6页）南京晓庄学院高等代数课程考试试卷卷（B）参考答案及评分标准一、选择题题（每小题2分，共20分）①,③,①,②,④,①,②,③,②,②二、填空题（每小题3分，共30分）11.nn-12（）12.a=3，b=613.43248184386xxxx，-10014.i=1，k=4.15.(1)(23)(23)xxx16.acd3e4-acd4e3.17.23x18.503103113.19.1100CB.20.()rA=3.三、计算题（每小题8分，共32分）21.在4P中，求向量组1234(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,1),(1,1,1,1)的一个极大无关组.第8页（共6页）12342131120212011201113111311111111100010001120112002404000011110110AAA解以，，，为下列矩阵的行，并作的行消法变换，若变得行元素组成向量为零向量，则该行元素组成向量是其它的行向量的先行组合，由此可求得极大无关组.31241241241234.0.BB（4分）由的第三行元素均为知是，，的线性组合，且，，线性无关，因此，，，为，，，的一个极大线性无关组（8分）22.求下列矩阵方程的解)1,0(110111310213412X解：211232430131X11102113233412X（3分）1592196X（8分）23.计算n阶行列式00010001000001nababababdabab第9页（共6页）24.解线性方程组1112122220000001001000100010000010001000100.(1)010000011()2(2)(nnnnnnnnnnnnnnaabbabababababdababababaaabbdabdabaabdaadaaaadaadnaadn解＋０　　＝）当时221112)3(1).(4)2).(2)(1)(2).nnnnnnnnnaaanaabdbadababdab分当ab时，从与的对称性知（6分）得（8分）12312341234123412342231,22,2334,3,799517.xxxxaxxxxxxxxxxxxxxx第10页（共6页）12223011002512120111223314011211111300125799517000001002501013.001250001730000094,1aaaaaxaa解对A做初等行变换A（4分）1）当a=1时，无解2）当a1时，有唯一解x34973,,.(8)111aaxxaa分四、证明题（共18分）25.证明奇数阶反对称行列式的值为零.（8分）证明第11页（共6页）121311223213233123121311223213233123(,1,2,,)0(1,2,3,,),000,(3)0,000,0ijiiiiiinnnnnnnnnnnnaijndaaainaaaaaadaaaaaaddaaaaaaddaaaaaa设为奇数阶反对称行列式的元素，由推知从而有分因为所以各,0.(8)ndnd行分别提取因子（-1）,得d=(-1)即当为奇数时便有26.证明任一n阶矩阵都可以表成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，并且这种表示法是唯一的.（10分）1111111111111111(),(),2211(),(),22.,,,=,11(),().22,,.(10)AACAABAABCAACBCABCABCBBCCABCBCBAACAABBCC证明设A为任一n阶阶矩阵，B=则即为对称矩阵，为反对称矩阵，且（5分）设另有其中则于是因此，这就证明了唯一性分第12页（共6页）