高等传热学作业

第一章1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(、、r中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：kTrkjTrkirTkTkqrsin11''（1-1）根据能量守恒：stoutginEEEEddrdrtTcddrdrqdqdqdrrqprsinsin22（1-2）导热速率可根据傅里叶定律计算：drrdtTkqrrsindrdrTrkqsin（1-3）rddrTrkqsin将上述式子代入（1-4-3）可得到)51(sinsin)sin()sin(sin)(222ddrdrtTcddrdrqdrddrTrkrdddrTrkdddrrTrkrpr对于各向异性材料，化简整理后可得到：tTcqTrkTrkrTrrrkpr2222222sin)(sinsin)(（1-6）第二章2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t和2t，两侧面(Ly)向温度为1t的周围介质散热，表面传热系数为h。试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。解：根据题意画出示意图：（1）设ffftttttt2211,,，根据题意写出下列方程组00000212222hyLyyyxxyx（2-1）解上述方程可以把θ分解成两部分I和两部分分别求解，然后运用叠加原理I得出最终温度场，一下为分解的I和两部分：00000212222IIIIIIIhyLyyyxxyx0000002222hyLyyyxxyx（2）首先求解温度场I用分离变量法假设所求的温度分布),(yxI可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积，即)()(),(11yYxXyxI（2-2）将上式代入I的导热微分方程中，得到012121212XdyYdYdxXd，即21''11''1YYXX，上式等号左边是x的函数，右边是y的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2。由此得到一个待定常数的两个常微分方程001221212212YdyYdXdxXd（2-3）解得)()()(1xBshxAchxX（2-4）)sin()cos()(1yDyCyY（2-5）把边界条件0,0yyI代入（2-3-4）得到A=0，所以有)()(1xBshxX（2-6）把边界条件0,yLyI代入（2-3-5）得到D=0，所以有)cos()(1yCyY（2-7）把边界条件0,IIhyLy联立（2-3-7）得到/)cot(hLLL（2-8）设BihLL/,，则有iB/)cot(，这个方程有无穷多个解，即常数β有无穷多个值，即)3,2,1(nn，所以对应无穷多个，即)3,2,1(nn，所以有)cos()(1yCyYnn（2-9）联立（2-3-6）可得1)()cos(),(nnnnIxshyKyx（2-10）把边界条件2,Ix代入上式可得LnnnLndyyshKdyy0202)(cos)()cos(（2-11）解得])cos())[sin(/()sin(22nnnnnnLshK（2-12）其中Lnn)()cos(])cos())[sin(/()sin(2),(12xLshyLLshyxnnnnnnnnI（2-13）（3）求解温度场与解I一样用分离变量法，假设所求温度分布),(yx可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积)()(),(22xYxXyx（2-14）将该式子代入的导热微分方程中得到022222222XdyYdYdxXd，即22''22''2YYXX，由此可得到两个常微分方程02222XdxXd（2-15）022222YdyYd（2-16）解式（2-3-15）时根据x的边界条件可以把解的形式写为)]([)]([)(2xBshxAchxX（2-17）把边界条件0,x代入上式，得到A=0，所以有)]([)(2xBshxX（2-18）其中innnnBL/)cot(,)]([)cos(),(1xshykyxnnnnI（2-19）把边界条件1,0x代入上式可得LLnnnndyyxshKdyy002'1)(cos)]([)cos(（2-20）])cos())[sin(/()sin(21'nnnnnnLshK（2-21）)]([)cos(])cos())[sin(/()sin(2),(11xLshyLLshyxnnnnnnnn（2-22）（4）最终求得稳态温度场)]([)cos(])cos())[sin(/()sin(2)()cos(])cos())[sin(/()sin(2),(),(),(1112xLshyLLshxLshyLLshyxyxyxnnnnnnnnnnnnnnnnI2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。当运行的时间足够长以后，系统可以达到基本稳定的状态。设土地是均匀的半无限大介质，线热源单位长度的发热量为ql，地表面的温度均匀，维持为t0。使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。解：根据题意画出示意图如下：设有限长热源长度为H，单位长度热源发热量为lq，电源强度为)(0wdzql，设地面温度维持恒定温度00,ttt。（1）求解点热源dz0产生的温度场有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加，因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为：0)(122drdrdrdr（3-1）解微分方程可得rcc12（3-2）把边界条件0,r代入上式得到02c，所以有rc1（3-3）在球坐标系点热源0dz单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量Q，即01244dzqcrdrdQl（3-4）所以得到014dzqcl由此可得到球坐标系中点热源0dz产生的温度场为0*14dzrql（3-5）（2）分别求出两个线热源产生的温度场线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有地下有限长线热源产生的温度场00114dzrqHl（3-6）对称的虚拟热源产生的温度场为00214dzrqHl（3-7）（3）虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场zzzzzHzHzHzHqdzzzzzqdzrqdzrqlHlHlHl22222222002022020000)()(ln4)(1)(141414（3-8）第三章3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为1mm的圆球，其材料的密度为8900kg/m3，比热容为390J/(Kg•K)，测温记录最高和最低温度分别为130℃和124℃，周期为20s。若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为20W/(m2•K)，试确定气流的真实温度变化范围。解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为)cos(*wB（4-1）式中)arctan(122rrfwwAB按题目要求102022Tw，shAcvr925.2820610139089003，)/(202kmwh，根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的温度变化的振幅如下式32124130122rfwA（4-2）把rw,的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅4.27fA，所以真实气体温度变化的最大值、最小值为Ct0max4.1544.272124130（4-3）Ct0min6.994.272124130（4-4）3-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度场由式子)4(4),(2arEqrtil确定。若线热源的加热不是连续的而是间歇的，即从0的时刻起，线热源进行周期性的间歇加热，周期为T，其中加热的时段为T1，其余的T-T1时间不加热。试利用线性叠加原理确定介质中的温度响应。解：无限大介质连续恒定发热的线热源引起的温度场：)4(4),(2arEqtrtii（5-1）其中：duuezEzui)(对于随时间变化的热流可以用一系列连续的矩形脉冲热流来近似如图所示：由叠加原理得到时刻的温度变化为：)0(,])(4[)(4101121liillniqarEqqttii（5-2）对于间歇性的脉冲，令TTCl/为运行份额，如果在整个运行期间的平均热负荷为lq，则脉冲加热的强度为Cql/，具体见下图：由叠加原理得到：0222020)(4(44])(4[4])(4[4nilillinlinlnTarETnTarECqTnTarEqnTarEqtt（5-3）即温度响应为022)(4(41)(4nililnTarETnTarECqtt（5-4）第四章4-1、处在x0的半无限大空间内的一固体，初始温度为溶解温度tm。当时间0时，在x=0的边界上受到一个恒定的热流q0的作用。使用积分近似解得方法确定固液界面位置随时间变化的关系式。温度分布按二次多项式近似。解：设过余温度mtt，边界条件为dxdqx0,00（6-1）0,0)(xx（6-2）热平衡方程为0),(,)(XxddXLdxd（6-3）其中L是潜热，La/用二次多项式近似固相区中的温度分布，设2)()(),(XxBXxAx（6-4）由边界条件（6-1）可知，)(2,0XxBAdxdx，则)2(])(2[20BXAXxBAq（6-5）由边界条件（6-2）变形，XXXdd]),([，代入（6-3）式可得0)(222xLxa（6-6）将（6-4）代入上式得到022aBAL（6-7）联立（6-5）和（6-7）两个式子，可解得XaLXaqXaLA02242（6-8）将（6-4）代入（6-3）得到ddXLXxBA)](2[（6-9）其中)(Xx，所以有ddXLA，代入A的值即得ddXXaLXaqXa02242