高等数学A-第1章-8-8(习题课)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第1章函数与极限高等数学A习题课函数与极限习题课结构框图函数的定义极限的概念连续的概念简略内容小结定义与性质求极限的常用方法求极限的常用结果判定极限不存在的常用方法常见题型典型习例1-12（一）函数的定义函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数（二）极限的概念左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限axnnlimAxfxx)(lim0Axfx)(lim等价无穷小及其性质唯一性无穷小0)(limxf两者的关系无穷大)(limxf（三）连续的概念左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义0lim0yx)()(lim00xfxfxx连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类一.定义内容小结函数定义.1定义.2N定义.3X定义.45.连续的定义6.无穷小及阶的定义7.无穷大的定义二.性质1.极限的性质2.连续的性质3.无穷小的性质4.闭区间上连续函数的性质三.求极限的常用方法1.利用极限的运算法则及函数的连续性;2.利用两个重要极限;3.利用有理化、通分、三角函数恒等变形等;4.利用变量代换;5.利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量;6.利用等价无穷小替换;7.利用夹逼准则;8.利用单调有界准则;9.利用左右极限求分段函数极限.四.求极限的常用结果);0(1limaann;1limnnn;1,,1,0,1,1,1,limqqqqqnn不确定;0)()(,,0)(,0)(,,,0)(,)()()()(lim00000000xPxQxPxQxQxQxPxQxPxx约去公因子.,,,0,,lim00110110kmkmkmbaaxbxbaxaxammmkkkx四.判定极限不存在的常用方法.)0()0()(lim)1(000AxfxfAxfxx利用(2)利用极限存在的唯一性或函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在且相等.五.常见题型1.考虑函数的定义域及函数的性质2.计算极限3.函数连续性的讨论与间断点的分类4.利用连续性理论证明等式与根的存在性5.求待定参数6.无穷小阶的讨论典型习题.,}{3)1(3,30111并求其极限收敛确定的数列证明由例nnnnxxxxx.,}{),,2,1()3(,30211并求此极限的极限存在证明数列设例nnnnxnxxxx).1sin(lim32nn计算极限例).2124321(lim4nnn计算极限例.lim,,2,1),2642125315nnnnxnnnx求设例.2)ln()ln(sinlim62220xexxexxxx计算极限例.)(1lim,)(1lim720310xxfexxfxxxx求若例.0)1(lim,833xxx使试确定常数例.0)(,)0(,13cos21)(93连续在点使得的值如何定义设函数例xxffxxxfx.)(],[,,],[)(10000xxfbaxbxabaxf使证明存在且上连续在闭区间设函数例.0)(),(0)()(,0,)()(,,],[11fbabfafLyxLyfxfyxba使得证明至少存在一点且为常数其中恒有上的任意两点设函数对于闭区间例.)()2(;0)()1(:,,0,,)(12都不连续在非零的点连续在点证明设例xxfxxfQxQxxxfc.,}{3)1(3,30111并求其极限收敛确定的数列证明由例nnnnxxxxx解,30)1(1x111123213)1(30xxxxx13211x13321,3,301nx设同理可证,,30nx.有界即nxnnnnxxxx3321又03)3)(3(nnnxxx,1nnxx.单调递增即nx.收敛数列nx,lim)2(axnn不妨设,3)1(3limlim1nnnnnxxx则,3)1(3aaa即)(,3负号舍去a.3limnnx.,}{),,2,1()3(,30211并求此极限的极限存在证明数列设例nnnnxnxxxx解,3,,30)1(111均为正数知由xxx.23)3(21)3(011112xxxxx故),1(230kxk设,23)3(21)3(01kkkkkxxxxx则,230,1,nxn均有对任意正整数由数学归纳法知.}{有界因而nx,1时又当n)3()3(1nnnnnnnnxxxxxxxx.03)23()3(nnnnnnnxxxxxxx.}{).1(1单调增加即因而有nnnxnxx.lim,存在知限由单调有界数列必有极nnx,lim)2(axnn不妨设,)3(limlim1nnnnnxxx则,)3(aaa即,23a.23limnnx).1sin(lim32nn计算极限例解)1sin(lim2nn)1sin(lim2nnnnnnnn1sin1lim2nnnn1sin1lim2.0).2124321(lim4nnn计算极限例解),1(2)12)(12(kkkk)12)(12(1253331121243210nnnnn12125331nn121n,0121limnn而.0)2124321(limnnn故.lim,,2,1),2642125315nnnnxnnnx求设例解),1(2)12)(12(kkkk)12)(12(125333112124321nnnnn12125331nn121n),2()1)(1(kkkk又nnnnn22)1(2664442212124321nn2)1(2644221n21121212432121nnnnnnnnnxn12121,从而,121limnnn而,1121limnnn.1limnnnx.2)ln()ln(sinlim62220xexxexxxx计算极限例解xexxexxxx2)ln()ln(sinlim2220xxeexxeexxxxx2)]1(ln[)]sin1(ln[lim22220)1ln()sin1ln(lim2220xexexxx2220sinlimxexexxx.1.)(1lim,)(1lim720310xxfexxfxxxx求若例解xxxxfx10)(1limxxxxfx120)(1lim222)()(20)(1limxxfxxfxxxxxfx220)(limxxfxxe20)(1limxxfxe,3e.3)(1lim20xxfx.0)1(lim,833xxx使试确定常数例解,01lim33xxxxx由,01lim33xxxx有,1111lim3333xxxx得)1(lim33xxx从而xxx1111lim33xxx1111lim33xxx1131lim3.031lim2xx.0)(,)0(,13cos21)(93连续在点使得的值如何定义设函数例xxffxxxfx解13cos21lim)(lim300xxxxxxf3)3cos2ln(01limxexxx30)3cos2ln(limxxxx20)3cos2ln(limxxx20)31cos1ln(limxxx2031coslimxxx2031coslimxxx.61,61)0(f令.0)(连续在点则xxf.)(],[,,],[)(10000xxfbaxbxabaxf使证明存在且上连续在闭区间设函数例证,)()(xxfxF设],,[bax,],[)(上连续在则baxF,0)()(aafaF且,0)()(bbfbF;,0)(0axaF取时当;,0)(0bxbF取时当,0)()(时当bFaF;0)(),(,00xFbax使得至少存在一点由零点定理.结论成立.0)(),(0)()(,0,)()(,,],[11fbabfafLyxLyfxfyxba使得证明至少存在一点且为常数其中恒有上的任意两点设函数对于闭区间例证),,(0bax,0},,,min{00xbaxL取,||0时则当xx由已知条件有,|||)()(|00xxLxfxf,)(0连续在所以xxf,),(0的任意性知由bax.),()(内连续在baxf,00时或当bxax,L取,],(),[时或则bbxaax,|||)()(|00xxLxfxf就有,,)(左连续在右连续在从而bxaxxf.],[)(上连续在从而baxf,0)()(bfaf由已知有.0)(),,(,fba使所以由零点定理知.)()2(;0)()1(:,,0,,)(12都不连续在非零的点连续在点证明设例xxfxxfQxQxxxfc证,0)1(,取,|||0|时则当xx,|||)(||)0()(|xxffxf),0()(lim0fxfx故.0)(连续在即xxf.)(,0)2(00不连续在则xxfx,事实上,,00Qrrx若.)()(0rrfxf则,),(:}{rrnrrrnnn分别取一有理数列),(:}{nrssnn取一无理数列,lim)(limrrrfnnnn则,00lim)(limnnnsf,0r而,)(lim不存在的关系知由函数极限与数列极限xfrx.)(处不连续在故rxf,,0cQssx若.0)()(0sfxf则),(:}{nsuunn分别取一有理数列svnsvvnnn),(:}{取一无理数列,lim)(limsuufnnnn则,00lim)(limnnnvf,)(lim不存在的关系知由函数极限与数列极限xfsx.)(处不连续在故sxf