高等数学A-第2章-11-10(曲线的凹凸拐点渐近线描图).

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第2章一元函数微分学高等数学A2.3导数的应用2.3.4曲线的凹性及其判定法2.3.5曲线的拐点及其求法2.3.6曲线的渐近线2.3.7函数图形的描绘方法2.3导数的应用2.3.4曲线的凹凸性及其判定法曲线的凹性及其判定法曲线的凹凸性习例1-22.3.5曲线的拐点及其求法曲线的拐点及判别法曲线的拐点判别习例3-52.3.6曲线的渐近线曲线的渐近线概念曲线的渐近线习例62.3.7函数图形的描绘方法函数图形的描绘方法函数图形的描绘习例7-10课堂思考与练习导数的应用.函数图形的凹凸性一图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo1x2x)(xfy)(xfyxyo1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方的直线方程为和过))(,())(,(2211xfxxfx,)()()(121121xxxxxfxfxfy即),()()()(112121xxxxxfxfxfy若函数为凸函数,则有),()()()()(112121xxxxxfxfxfxf),()()(21211122xfxxxxxfxxxxxf,,21211122xxxxxxxx令,,1221121xxx则).()()(22112211xfxfxxf类似地,若函数为凹函数,则有).()()(22112211xfxfxxf1.定义:设f(x)在I内连续,,,21Ixx.1,0,02121且),()()()1(22112211xfxfxxf若则f(x)为区间I上的凸函数.),()()()2(22112211xfxfxxf若则f(x)为区间I上的凹函数.如图所示xoy凹弧的曲线位于各点处切线的上方xoy凸弧的曲线位于各点处切线的下方1x2x3xtantantan).()()(,321321xfxfxfxxx时即当.)(单调递增xf2.判别法定理1..),()()(),()1(内递减在充要条件是导函数为凸函数的内的可导函数在区间baxfxfba.),()()(),()2(内递增在充要条件是导函数为凹函数的内的可导函数在区间baxfxfba定理2.设f(x)在(a,b)内有二阶导数,,0)(),()1(xfbax时有若则f(x)在(a,b)内的图形是凸的.,0)(),()2(xfbax时有若则f(x)在(a,b)内的图形是凹的.例1.判定下列曲线的凹凸性.arctan)()2(;ln)()1(xxfxxf例2.).1,,0,0()2()(21nyxyxyxyxnnn证明曲线的凹凸性习例例1.判定下列曲线的凹凸性.arctan)()2(;ln)()1(xxfxxf解:).,0(ln)((1)的定义域为xxf,1)(xxf.01)(2xxf.),0(ln)(上是凸的的图形在xxf).,(arctan)((2)的定义域为xxf,11)(2xxf.)1(2)(22xxxf.0,0)(xxf得令列表讨论如下:x)0,(0),0()(xf0)(xf;)0,(arctan)(上是凹的的图形在xxf.),0(上是凸的在例2.).1,,0,0()2()(21nyxyxyxyxnnn证明证明:).1,0()(ntttfn设,)(1nnttf)1,0(0)1()(2nttnntfn.)(是凹的nttf).2(2)()(yxfyfxf.)2()(21nnnyxyx即定义:.函数图形的拐点二连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为拐点..,2,1,0),0,(sinkkxy的拐点有如xoy定理3(拐点存在的必要条件).0)(,))(,(,)(0000xfxfxIxxf则为拐点若上二阶可导的区间在包含设注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.注意:,),~()(0内存在在设xUxf0)(,;0)(,)1(00xfxxxfxx时当时当.)())(,(00的拐点是曲线则xfyxfx或者0)(,;0)(,)2(00xfxxxfxx时当时当.)())(,(00的拐点是曲线则xfyxfx.点的步骤判定函数图形凹凸与拐三.)()1(的定义域写出xf).()2(xf求.0)()3(ixxf的点的点及二阶导数不存在求出.)4(小区间将定义区间分成若干个ix;)()5(的符号可得凹凸区间由xf.,))(,()(,否则不是拐点为拐点变号则左右两侧若在iiixfxxfx例3..14334的凹凸区间与拐点求xxy曲线的拐点判别习例例4..4)3(3的凹凸区间与拐点求xy例5.?)3,1(,,23的拐点为曲线为何值时问bxaxyba.143.334的凹凸区间与拐点求例xxy解:).,(的定义域为函数y,121223xxy).32(3624362xxxxy.32,0,021xxy得令x)0,(0)32,0(32),32(y00y拐点拐点.)2711,32()1,0(是拐点和例4..4)3(3的凹凸区间与拐点求xy解:,433xy).,(其定义域为,)4(3132xy.)4()4(9232xxy,0的点没有二阶导数为x)4,(4),4(y不存在y拐点.)3,4(是拐点.4为不可导点但x例5.?)3,1(,,23的拐点为曲线为何值时问bxaxyba解:,232bxaxy.26baxy.)3,1(23的拐点是又bxaxy3)1(y0)1(y0263baba.29,23ba.曲线的渐近线四1.水平渐近线,)(lim)(lim)(limAxfAxfAxfxxx或或若则y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线.2.铅直渐近线,)(lim)(lim)(limxfxfxfaxaxax或或若则x=a是曲线y=f(x)的铅直渐近线.3.斜渐近线,0)]()([limbkxxfx若则y=kx+b是曲线y=f(x)的斜渐近线.由此可得,)(limxxfkx].)([limkxxfbx例6..3223的渐近线求曲线xxxy解:,)1)(3(3xxxy,)1)(3(limlim311xxxyxx,)1)(3(limlim333xxxyxx.31xx与故有铅直渐近线曲线的渐近线习例,1)1)(3(lim)(lim3xxxxxxfkxx又])1)(3([lim])([lim3xxxxkxxfbxx,23232lim22xxxxx.2xy有斜渐近线.函数图形的描绘五利用函数特性描绘函数图形,一般步骤如下:(1)确定函数f(x)的定义域..0)(,0)((2)的点求得xfxf.0)(0)(,,(3)间定义域分成若干个小区的点把和不可导点以间断点xfxf.,,,)(),((4)极值与拐点凹凸图形的升降从而确定出的符号在各小区间上确定xfxf(5)求出极值,拐点与坐标轴的交点.(6)求出渐近线.(7)描图.函数图形的描绘习例例7..,12描绘图形设xxy例8..,)3(3612描绘图形设xxy例9.例10.例7..,12描绘图形设xxy解:).,((1)的定义域为函数y,)1(1)2(222xxy.1,0xy得令,)1()3(2322xxxy.3,0,0xxy得令(3)列表讨论如下:x)3,(3)1,3(1)0,1(0)1,0(1)3,1(3),3(y00y000y,21)1()4(y极大值为,21)1(y极小值为).43,3(),0,0(),43,3(拐点有,01lim)5(2xxx.0为水平渐近线y(6)描图如下:xoy11例8..,)3(3612描绘图形设xxy解:).,3()3,((1)的定义域为函数y,)3()3(36)2(3xxy.3,0xy得令,)3()6(724xxy.6,0xy得令(3)列表讨论如下:x)3,(3)3,3(3)6,3(6),6(y不存在0y不存在0y,4)3()4(y极大值为).311,6(拐点有).1,0(),0,336(:与坐标轴的交点,1])3(361[lim)5(2xxx.1是水平渐近线y,])3(361[lim23xxx.3是铅直渐近线x(6)描图如下:xoy11函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.解:,)1(4)3()1(2xxy定义域为(2)求关键点)3(2xy4044yxy)1(223xyxyy42048yxy)1(241xyy得令0y;3,1x例9.113)1,()1,1()3,1(),3(xyyy20,)1(4)3(2xxy,)1(4)1)(3(2xxxy3)1(2xy(3)判别曲线形态00(极大)(极小)(4)求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无定义1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx]41)1(4)3([lim2xxxx)1(495limxxx45)1(4)3(2xxy(5)求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy2)1(4)1)(3(xxxy3)1(2xy(6)绘图(极大)(极小)斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点11302)1(4)3(2xxy2无定义xy113)1,()1,1()3,1(),3(0xy049241解:(1)定义域为图形对称于y轴.(2)求关键点y21,22xexy2122xe)1(2x得令0y;0x得令0y1x00xyyy10)1,0(),1((3)判别曲线形态例10.21e21(极大)(拐点)(极大)(拐点)0limyx0y为水平渐近线(5)作图(4)求渐近线2100e21xyyy10)1,0(),1(2221xeyxyoBA21思考题：习题2.3第1题（1）到（2）思考题参考答案课堂练习：习题2.3第24题到第27题练习参考答案