高等数学BII教学重点及方法小结

高等数学BII各章重点小结第一部分向量代数、空间解析几何本部分重点：1、点积、叉积，向量平行垂直的充要条件2、平面，直线方程3、旋转曲面的方程4、空间曲线的投影曲线与投影柱面巩固练习：【1】、已知三角形的顶点(1,1,1)A，(2,1,4)B，(1,2,4)C，求：（1）三角形的面积；（2）Acos；（3）若AC边上的高为DB，求向量DB．【2】、已知点)3,1,2(P和直线L：12131zyx，求过点)3,1,2(P并且与直线L垂直相交的直线方程．【3】、已知两个球面的方程为2221xyz和222(1)(1)1xyz求它们的交线C在xoy面上的投影方程。【4】、设一个立体由上半球面224zxy和锥面223()zxy所围成，求它在xoy面上的投影。【5】、求yoz面上的曲线：0),(zyF绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程．【6】、平面过点(1,0,1)且平行于向量{2,1,1}a和{1,1,0}b，试求此平面的方程．【7】、求直线21101:zyxL绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程．【8】、直线1211234:,:213412xyzxyzLL有什么样的位置关系？若相交，求交点；若不相交，求出两直线之间的距离。第二部分多元函数微分学本部分重点：1、二元函数的极限、连续、偏导数存在、可微的关系（1）判断极限是否存在；（2）判断是否连续；（3）判断偏导数是否存在；（4）判断是否可微。2、偏导数的计算、多元复合函数，隐函数的求导方法（1）全导数公式；（2）复合函数求偏导（链式法则）；（3）隐函数求导方法（单个方程、两个方程）；（4）抽象函数求导3、切平面，切线方程4、方向导数与梯度5、多元函数的极值，拉格朗日乘数法巩固练习：1、设2222221sin,0(,)0,0xyxyxyfxyxy，试讨论(,)fxy在（0,0）处极限、连续、偏导数、可微性质。2、求由方程2222xyzxyz确定的隐函数(,)zzxy在点0(1,0,1)P处的全微分dz。【答案：0(1,0,1)|2Pdzdxdy。】3、设(,)zzxy由方程1111()xyzzF所确定，其中F可微。求22zzxyxy。【答案：0.】4、设(,)zzxy有二阶连续偏导数，若变换2,uxyvxay，把方程22220zzzxxyy26化简为20zuv，求常数a。【答案：3a。】5、设22()ufxy，f有二阶连续偏导数，且满足22223/222()uuxyxy，求()fr及(,)uxy。【答案：5121()ln25frrcrc，225/222121(,)()ln()25uxyxycxyc】6、求常数,,abc使函数4423(,,)2fxyzbxyayzcxz在点(1,1,1)P处沿x轴正向的方向导数有最大值32。.【答案：3,12,4abc。】7、在圆锥面22zxy上求一曲线通过点(1,0,1)P且曲线上每点的切线与xoy面的夹角为30o。【答案：设出曲线的参数方程，222()cos,()sin,()tttxtetytetzte。】8、在周长为2P的三角形中，求这样的三角形，使它绕着自己的边旋转做的旋转体的体积最大。【答案：Lagrange乘子法，312P。】第三部分积分学本部分重点：1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）（1）．利用二重积分的几何意义进行计算；（2）．利用二重积分的线性性质进行计算；（3）．利用直角坐标计算；（4）．利用极坐标计算；（5）．利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性进行计算；*（6）．利用积分区域关于各个变量的轮换对称性进行计算。2、二重积分交换积分顺序3、三重积分的计算（1）．利用三重积分的几何意义进行计算；（2）．利用三重积分的线性性质进行计算；（3）．利用直角坐标计算：通常情况下是用“先一后二”进行计算，但当积分区域是平行截面面积为已知的立体时，可考虑用“先二后一”进行计算；（4）．利用柱面坐标计算；（5）．利用球面坐标计算：当积分区域为球体或球体的一部分，可考虑用球面坐标计算该三重积分；（6）．利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性进行计算；*（7）．利用积分区域关于各个变量的轮换对称性进行计算。4、重积分在几何上的应用5、曲线积分的计算，格林公式、平面积分与路径无关的条件（1）直接利用定义及参数方程计算（2）、格林（Green）公式及其应用1）求平面图形的面积；2）根据某二元函数的全微分，求出该二元函数。（3）、利用格林公式计算平面曲线上对坐标的曲线积分的三种情况：1）直接利用格林公式计算（此时可简化运算）。2）补弧段：当积分弧段不是闭曲线时，则先添加弧段（利用对坐标的曲线积分的垂直性，一般添加与坐标轴垂直的线段）将积分曲线变成闭曲线，从而利用格林公式转化为二重积分计算（简化运算），然后将该二重积分值减去添加弧段上对坐标的曲线积分值。3）挖点：平面闭曲线上对坐标的曲线积分，当被积函数在该闭曲线围成的平面闭区域内的某一点不满足格林公式成立的条件，此时，在该平面闭区域的内部添加一条闭曲线将不满足格林公式的那个点去掉，则在两条闭曲线围成的区域内利用格林转化为二重积分计算，然后将该二重积分值减去添加的闭曲线上对坐标的曲线积分值。（4）平面曲线上对坐标的曲线积分与积分路径无关。6、曲面积分的计算，高斯公式（1）直接利用定义及曲面的面积微元计算（2）利用投影方法计算（3）高斯（Gauss）公式（4）利用高斯公式计算对坐标的曲面积分的三种情况：1）直接利用高斯公式计算（此时可简化运算）。2）补面：当积分曲面不是闭曲面时，则先添加曲面（利用对坐标的曲面积分的垂直性，一般情况下是添加平面）将积分曲面变成闭曲面，从而先利用高斯公式转化为三重积分计算，然后将该三重积分值减去添加曲面上对坐标的曲面积分值。3）挖洞：闭曲面上对坐标的曲面积分，当被积函数在该闭曲面所围成的空间区域内的某一点无定义时，则要先将该点去掉（用一个小的闭曲面），然后利用高斯公式转化为三重积分进行计算，最后将该三重积分值减去那个小的闭曲面上对坐标的曲面积分值。巩固练习：【1】、计算二重积分(1)Dxydxdy，其中积分区域D由直线1,0,0xyxy围成。【答案：直角坐标，12。】【2】、计算二重积分22Dxdxdyxy，其中D是由2,2xyyx围成。【答案：极坐标，ln2。】【3】、计算二重积分222Dyaxdxdy，其中D为222(0)xyaa的上半部分。【答案：利用对称性，51645a。】【4】、计算三重积分xyzdV，其中是由平面1xyz及三个坐标面围成的四面体。【答案：直角坐标，1120】【5】、计算三重积分2(2)xyzdV，其中为椭球体2222221xyzabc，其中,,abc均为正数。【答案：对称性或广义球坐标，2224(4)15abcabc】【6】、计算三重积分222xydVz，其中为22212xyzz。【答案：球坐标或柱坐标或直角坐标，512】【7】、求球面2222xyzR被柱面22xyRx所割下的部分的面积和体积。【答案：2412SR；32839VR】【8】、计算曲面积分222444SxyzIdSabc，其中（S）表示椭球面：2222221,(0)xyzabcabc。【答案：22241113abcabc】【9】、计算22(2)LIxyzds，其中L是球面22264xyz与平面0yz的交线。【答案：768。】【10】、计算曲线积分2xLIdxydyzdz，其中L分别为（1）从点O(0,0,0)到A(1,2,3)的直线段；（2）椭圆2221xyzyz在第一卦限从A(1,0,0)移到1122(0,,)B的一段。【答案：（1）274；（2）14。】【11】、计算曲线积分222[2()][(2)]xyLIxxexydxxyedy，L是从(0,0)经过曲线22yxx到点A(4,8)的一段弧。【答案：64】【12】、计算22222222sinxLexyxyyIdxdyxyxy，其中L是222xya顺时针方向。【答案：22a】【13】、设有一平面力场3222(2cos)(12sin3)Fxyyxiyxxyj，求一质点沿曲线2:2Lxy从点O(0,0)运动到点2(,1)A时场力F所做的功。【答案：24】【14】、求一个二元可微函数(,)Pxy适合(0,1)1P，并使曲线积分232312(3),(3)LLIxyxdxPdyIPdxxyxdy都与积分路径无关。【答案：23(,)3Pxyxyy】【15】、求曲面积分222IzRxydxdy的值，其中为22xyRx与1,2zz所围立体表面的外侧。【答案：3439R】【16】、计算2223()xdydzydzdxzdxdyxyzI。其中：（1）是球面2222xyzR外侧；（2）是球面222(1)(2)(3)1xyz外侧；（3）是椭球面2222341xyz外侧。【答案：（1）4；（2）0；（3）4。】第四部分级数本部分重点：1、常数项级数的收敛性判别2、幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域3、幂级数的和函数（1）、求幂级数的和函数1）．常见的六个函数的幂级数展开式2）．求幂级数的和函数的方法：利用逐项求导、逐项积分并结合常见六个函数的幂级数展开式，求幂级数的和函数。（2）、求常数项级数的和1）．定义法（少用）：如果该常数项级数的前项和能够求出，且能够用一个式子表示时，则对其前项和求极限即可。2）．间接法：方法一（常用方法）：先求出该常数项级数对应的幂级数的和函数（结合六个函数的幂级数展开式），再求该和函数在相应点处的函数值即可。方法二（少用）：求出某个函数的幂级数展开式或傅里叶级数，再求其展开式在相应点处的值。4、幂级数展开5、傅里叶级数，狄利克雷定理巩固练习：【1】、求幂级数2111(21)nnxnn的和函数。【答案：2221lnln(1),(1,1)11xxxxxxx】【2】、求幂级数2013!nnnnxn的和函数。【答案：231,(,)93xxxex】【3】、将函数12()arctan12xfxx展开成x的幂级数，并求级数(1)21nnn的和。【答案：21121011()(1)2,(,]42122nnnnxfxxn，4】【4】、将函数2()1(0)fxxx展开成余弦级数，并求级数121(1)nnn。【答案：2121(1)()14cos()3nnfxnxn，212】【5】、判断下列级数的收敛性。（1）21211nnnaa；（2）1201(1)nnxxdx；（3）11ln(1)nnnn；（4）11ln(1)!knnnn，其中k为大于1的常数。【答案：（1）收敛；（2）收敛；（3）条件收敛；（4）绝对收敛。】