高等数学Ⅱ课程教案

高等数学Ⅱ课程教案（21）课题第十一章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分教学准备熟悉教案及讲稿教学目标1．理解对弧长的曲线积分的定义2．了解对弧长的曲线积分的性质3．掌握对弧长的曲线积分的计算方法教学重点对弧长的曲线积分的计算教学难点对弧长的曲线积分的定义教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入上节介绍了多元函数的重积分的概念（四步进行）及其计算方法。多元函数的积分除重积分外，还有其它形式的积分。约10分钟讲授新课一、对弧长的曲线积分的概念与性质1．概念与性质（对弧长的曲线积分也称为第二型曲线积分）定义设L为xoy面内的一条光滑曲线弧，函数),(yxf在L上有界，在L上任意插入若干个分点把L分成n个小段：nsss,,21，并用is表示第i个小段的长度，ni,...,2,1．令},,,max{21nsss．任取iiis),(，ni,...,2,1，作和式niiiisf1),(．如果不论对曲线弧L怎样划分，也不论在小段is上点),(ii怎样选取，只要当0时niiiisf1),(，的极限总存在，则称此极限为函数),(yxf在L上对弧长的曲线积分或第一型曲线积分，记为Ldsyxf),(．即Ldsyxf),(＝niiiisf10),(lim．其中),(yxf称为被积函数，L称为积分弧段．2．性质性质：与二重积分的性质相类似问题的提出（平面非均匀弯曲构件的质量问题）：设质量分布在xoy平面一条可求长的曲线L上，它的线密度函数为),(yx，求曲线的质量．应用“大化小、常代变、近似和、取极限”方法：niiiisfM10),(lim．说明：1)当),(yxf为线密度时，Ldsyxf),(表示平面非均匀弯曲构件的质量．2）若L为闭曲线时，则),(yxf在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为Ldsyxf),(；3)上定义可推广到到积分弧段为空间曲线弧的情形．即若),,(zyxf在曲线弧L上对弧长的曲线积分Ldszyxf),,(＝niiiiisf10),,(lim．大约30分钟大约10讲授新课二、第一型曲线积分的计算定理设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为).(),(tytx,t．其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数,且0)()(22tt,则曲线积分Ldsyxf),(存在,且dtttttfdsyxfL)()()](),([),(2/2/注意：若L：)(xyy，],[x，则Ldsyxf),(＝dxxyxyxf2/)]([1)](,[若L：],[),(rr，则Ldsyxf),(＝drrrrf2/2)]([]sin)(,cos)([例1（P189）例2（P189）例3求CdszyI222．其中C：yxzyx,1222(简要说明)．P154（参数方程法化为定积分计算）公式曲线积分的计算公式，但在转化为定积分时，积分下限一定小于积分上限；公式可推广三元函数在空间曲线上的曲线积分的计算．可用两种方法求解。分钟大约20分钟大约20分钟小结1．对弧长的曲线积分的定义——四个步骤进行2．对弧长的曲线积分的计算——参数方程法化为定积分计算约10分钟作业教材P190习题11-1：3（1）（3）（5）。高等数学Ⅱ课程教案（22）课题第十一章曲线积分与曲面积分第二节对坐标的曲线积分教学准备熟悉教案及讲稿教学目标1．理解对坐标的曲线积分的定义2．了解对坐标的曲线积分的性质3．掌握对坐标的曲线积分的计算。教学重点对坐标的曲线积分的计算方法教学难点对坐标的曲线积分的定义教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入上节学习了对弧长的曲线积分的定义、性质以及其计算方法。由对弧长的曲线积分的定义、性质可知，对弧长的曲线积分的特点是与曲线的方向无关，有另一种曲线积分与曲线的方向有关。约10分钟讲授新课一、对坐标的曲线积分的概念（也称为第二型曲线积分）定义LdxyxP),(＝niiiixP10),(lim．其中),(yxP称为被积函数，L称为积分弧段．类似地LdyyxQ),(＝niiiiyQ10),(lim．2．性质(1)如果把L分成L1和L2，则LQdyPdx1LQdyPdx＋2LQdyPdx；(2)设L是有向曲线弧，－L是与L方向相反的有向曲线弧，则LdyyxQdxyxP),(),(＝-LdyyxQdxyxP),(),(。问题：变力沿曲线所作的功在xoy面内，质点在力jyxQiyxPyxF),(),(),(的作用下，从点A沿光滑曲线弧L移动到点B，其中函数),(),,(yxQyxP在L上连续，求该变力对质点所作的功．有W＝niiiiiiiyQxP10]),(),([lim．说明：1）为简便起见，常将下式合并起来，即LdxyxP),(＋LdyyxQ),(＝LdyyxQdxyxP),(),(；2）由上定义可知：变力所作的功为LdyyxQdxyxPW),(),(；3）上定义可推广LdzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(大约15分钟大约15分钟讲授新课（即第二型曲线积分与方向有关）二、第二型曲线积分的计算法定理设),(),,(yxQyxP在有向曲线弧L上连续，L的参数方程为)()(tytx，当参数t单调地由变到时，动点从L的起点沿L运动到终点．)(),(tt在以，为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2/2/tt，则曲线积分LdyyxQdxyxP),(),(存在，且LdyyxQdxyxP),(),(＝dttttQtttP)]()](),([)()](),([[。（2）2．两类曲线积分之间的联系：设有向平面曲线弧L为)()(tytx，L上点),(yx处的切向量的方向角为,，则LLdsQPQdyPdx)coscos(．其中)()()(cos2/2//ttt，)()()(cos2/2//ttt．可以推广到空间曲线上．例1（P196）例2（P197）例3（P197）例4（P198）说明：1）若xxyyL),(:的起点为a，终点为b，则LdyyxQdxyxP),(),(＝badxxyxyxQxyxP)]()](,[)](,[[，若yyxxL),(:的起点为c，终点为d，则LdyyxQdxyxP),(),(＝dcdyyyxQyxyyxP]]),([)(]),([[；2）公式（2）可推广，即若)()()(:tztytx，t的起点为，终点为，则RdzQdyPdx＝)()](),(),([{ttttP＋)()](),(),([ttttQ＋dtttttR)}()](),(),([大约20分钟大约10分钟大约20分钟小结1．对坐标的曲线积分的定义2．对坐标的曲线积分的计算3．两类曲线积分之间的联系约10分钟作业教材P170习题10-2：3（1）（3）。高等数学Ⅱ课程教案（23）课题第十一章曲线积分与曲面积分第三节格林公式及其应用教学准备熟悉教案及讲稿教学目标1．理解格林公式2．熟练利用格林公式计算第二型曲线积分教学重点格林公式及计算补线法教学难点格林公式的应用教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入复习回顾第二型曲线积分的计算方法。在第二型曲线积分中，当积分曲线是闭曲线时，若第二型曲线积分的基本计算方法是有一定困难，这时该计算？约10分钟讲授新课一、格林公式单连通、复连通区域的概念定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数),(),,(yxQyxP在D上具有一阶连续偏导数，则有dxdyyPxQQdyPdxLD)(其中L是D的取正向的边界曲线．注意：(1)应掌握单连通、复连通区域的边界曲线正向的规定；(2)格林公式是计算第二型曲线积分的重要公式,L应是闭曲线．否则，使用补线法计算；(3)区域D的面积LydxxdyS21．(4)//,xyQP在D上连续，否则，在间断点处“挖洞”，应用复连通区域上的格林公式DlLQdyPdxdxdyyPxQ．例1（P204）牛顿—莱布尼兹公式)()()(aFbFdxxfba建立了区间上定积分与其边界上原函数值的关系。本节将此结论推广，揭示区域上积分与其边界上积分之间的关系．用曲面积分可计算区域的面积。大约20分钟大讲授新课例2（P204）例3（P204）例4（P205）二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2设开区域G是一个单连通区域，函数),(yxP，),(yxQ在G内具有一阶连续偏导数，则下列四条件等价：（1）LQdyPdx在G内与路径无关；（2）对于G内任意闭曲线C,有0CQdyPdx；（3）//yxPQ在G内恒成立；（4）存在),(yxu，使QdyPdxdu,此时CdttxQdtytPyxuyyxx00),(),(),(0,或CdttxQdtytPyxuyyxx00),(),(),(0.其中),(00yx为G内一个定点，C为任意常数．例5确定的值，使曲线积分BAdyyyxdxxyx)56()4(4214与路径无关，并求当A、B分别为(0,0)，(1,2)时这曲线积分的值．例6（P211）例7（P211）注意其解法的技巧。说明：定理中（2）、（3）结合在一起即为教材中的定理2；定理中（3）、（4）结合在一起即为教材中的定理3，称为二元函数的全微分求积可（1）（2）（3）（4）（1）。归纳上定理的四个等价条件：以（3）作为条件来（1）、（2）或（4）。约20分钟大约20分钟大约20分钟小结1．格林公式2．格林公式的应用3．平面上曲线积分与路径无关的条件约10分钟作业教材P213习题11-3：1（2），2（1），5（1）（4），6（4）。高等数学Ⅱ课程教案（24）课题第十章曲线积分与曲面积分第四节对面积的曲面积分教学准备熟悉教案及讲稿教学目标1．理解对面积的曲面积分的概念2．掌握对面积的曲面积分的计算方法教学重点对面积的曲面积分的计算教学难点对面积的曲面积分的定义教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入复习回顾两种曲线积分的定义以及计算方法。多元函数的积分除曲线积分外，还有曲面积分，对曲面积分而言，也分为两种。约10分钟讲授新课一、对面积的曲面积分的概念与性质定义设函数),,(zyxf在光滑曲面上有界．把任意分成n个小块nsss,,,21，并用is表示第i个小块的面积，ni,,2,1．任取iiiis),,(，ni,,2,1，作和式niiiiisf1),,(．如果不论对曲面怎样划分，也不论在小块is上点),,(iii怎样选取，只要当各个小块曲面的直径（曲面的直径是指曲面上任意两点间距离的最大者）的最大值0时，niiiiisf1),,(的极限存在，则称此极限为函数),,(zyxf在光滑曲面上对面积的曲面积分或第一型曲面积分，记为dSzyxf),,(．即dSzyxf),,(niiiiisf10),,(lim．其中),,(zyxf称为被积函数，称为积分曲面．问题的提出：设曲面是可求面积的光滑曲面（所谓曲面是光滑的，是指曲面上各点处都具有切平面，当切点在曲面上连续移动时，切平面也连续转动的平面），其面密度函数为),,(zyxf，求的质量.应用“分割、代替、求和、取极限”的方法：niiiiisfM10),,(lim.说明：1）当被积函数),,(zyxf在光滑曲面上连续