高等数学上册复习.

西南财经大学经济数学学院孙疆明高等数学精财函数：概念、复合函数、反函数、函数分类概念：定义域、函数值定义域：函数关系有意义的集合初等函数分段函数复合函数()函数性质：奇偶性单调性周期性有界性连续性可导可微性可积性()fx奇偶性——()fx单调性——()fxT周期性——lim(),lim(),xaxbfxfxab有界性——为定义域各区间端点00lim(),()xxfxfx连续性——000000()()()()lim,limxxxfxxfxfxfxxxx可导性——可积性——连续性,,函数分类：基本初等函数初等函数分段函数1()sin,();(arcsin),()xfexfxfxfxx例求求2()[1,2],(1)fxfx例定义域求定义域()sinln;()lncsccotfxxfxxxc3223xx或极限：00lim()0,0,0,()xxfxAxxfxA概念：当时()性质：唯一性有界性局部保号性极限无穷小关系0001.,,,0,1,,00计算——不定式极限方法：初等方法,两个重要极限，等价无穷小，罗必达法则221001321lim,lim(1),lim,limsin1xxxxxxxxxexxxxxx如2.运算项数无限增加极限方法：初等方法,夹逼定理，定积分22222222212lim[1212(1)]lim()12111lim()121lim()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnneeen例3.极限方程20lim,,xxeaxbAabAx例，求1sin,0(),00,xxfxaxbxxab在可导，求连续：00lim()()xxfxfx点连续——[,][,]abab在每一点连续，称在区间连续分段函数在分段点连续性000lim(),lim(),()xxxxfxfxfx考虑方程xiezzz34134设该方程的一个解为xiaez3代入方程.3sin4134]4[的一个解求方程例xyyy[解法一]比较系数得到整理得xixieaei33)31(1031311iiaxieiz31031)3sin3)(cos103101(xixi取z的虚部,得到原方程一个解xxxy3sin1013cos103)(03333912134ixixixixaeiaeaeei32特征根[解法二]设方程的一个解为xbxaxy3sin3cos)(0代入方程,比较系数,定出a和b思考题1:12yyy思考题2:)(为常数kkcyybya?0y怎样求一个解3)(xfcyybya)()()(2211xyCxyCxy三、二阶常系数非齐次线性方程——常数变易法)()()()()(22110xyxCxyxCxy设非齐次一个解为已知齐次通解为)()()()()(22110xyxCxyxCxy)()()()(2211xyxCxyxC)1(0)()()()(2211xyxCxyxC附加条件于是22110)()(yxCyxCy221122110)()()()(yxCyxCyxCyxCy代入方程得到])()()()([22112211yxCyxCyxCyxCa])()([2211yxCyxCb)(])()([2211xfyxCyxCc])()([2211yxCyxCa整理后得到])[(1111cyybyaxC)(])[(2222xfcyybyaxC故均为齐次方程的解,)(),(21xyxy0111cyybya0222cyybya)2()(1)()(2211xfayxCyxC即得式联立式与将,)2((1))(1)()(0)()(22112211xfaxCyxCyxCyxCy系数行列式不等于零所以上述方程组的线性无关与因为,)()(21xyxy02121yyyy)()(,)()(,2121xCxCxCxC和可得到再积分便后和解出故方程组有解[1]sin2yyx例求方程的一个解012[解]对应齐次方程的特征方程12,1xxeCeCxy21)(齐次通解xxexCexCxy)()()(210设非齐次方程的一个解方程组代入下列将xxfaeyeyxx221sin)(,1,,)(1)()(0)()(22112211xfaxCyxCyxCyxCyxxCexCexCexCexxxx22121sin)()(0)()(解得,sin21)(21xexCxxexCx22sin21)(积分得)22sin(sin101)(22xxexCx)22sin(sin101)(21xxexCxxxeexxxy)22sin(sin101)(20)2(sin512xxxeexx)22sin(sin1012四、欧拉方程)(222xfcydxdybxdxydax作变量代换tex令xdtdydxdtdtdydxdy122222211)1(xdtdyxdtydxdtdydxddxyd代入欧拉方程，得)()(22tefcydtdyabdtyda常系数二阶线性非齐次dxdududydxdy1=,dudxx若则一阶导项可消去变系数的通解求方程例03]5[222ydxdyxdxydx[解]tex令代入方程，得)1(0222ydtdydtyd特征方程为0122特征根121方程(1)的通解)(21tCCeyt原方程的通解)ln(121xCCxy例5(经济发展模型)国民收入通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于投资，可以增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可以反过来促进生产,试建立数学模型分析这种关系。符号说明：记国民收入为Y(t)(产出),消费为C(t),储蓄为I(t),k为边际资本产出比(即单位边际产出所需资本)；s为边际储蓄倾向(单位产出产生的储蓄)；1－s为边际消费倾向(单位产出用于消费的量)；基本假设：1.产出增长率与资本投入成正比；2.储蓄全部用于投资00(1)dY(0)dt()stkYCIIsYCsYIdYsYYYkdtkYYe基本方程：；；根据假设，得微分方程：，方程的解为：。这是一个持续增长的生产函数，要求增加的产出全部被需求吸收包括消费需求和投资需求。上述模型是一个简单模型。只考虑了自发投资，即消费剩余,而实际上消费增加也会刺激投资(称为引致投资)，进而刺激生产。假设引致投资与消费增长率成正比，则得到新的经济增长模型。(1)(2)(1)(3)dYdC(4)(5)dtdtYCIIsYCsYIIk基本方程：；；假设方程：，(1)(2)(6)(4)(5)11dYdCdIdIdYsdtdtdtdtdtssIIIkkk式求导，并代入式，得：，解得：2222221(4)(7)(7)(5)(2)(6)(1)dYdIdIdYkdtkdtdtdtdYssdYYkdtkdt式求导，得，代入式，得：，整理得微分方程：()yty0s()k1e()1stk2s1y0()sk1sestk2s1方程特解为：(1)12ststkkYAeAe方程通解为：22200221,21(1)0(0)'(0)/(1)/0/114(1)1(21)22(1)/dYdYssYdtkdtkYYYsYksskskssskksk，这是一个二阶微分方程。特征方程：特征根：例6生产资料部类与消费资料部类两部类经济增长比例模型记xi(t)为i部类终产品，下标i表示第i部类基本假设：1.第二部类(生活资料)的终产品全部被消费；2.只考虑两种生产要素：资本Ki劳动力Li，并且两部类生产要素可以自由流动,劳动力工资相同,工资总额为消费品产量(值)；3.各部类资本与劳动力比值Ki/Li=ai为常数(称资本强度)；劳动力与产量的比值Li/xi=bi为常数(称劳动力投入系数)；则资本与产量(值)的比值为Ki/xi=aibi为常数(称资本投入系数)；4.劳动力以固定增长率n增长；5.第一部类(生产资料)产值x1全部转化为资本；6.不考虑价格因素。符号：L,K分别为总劳动力和总资本;工资率W=x2/L；i12122''1KLi1,2Li1,2KKKLLLLLLKiiiiittabxxWnx基本方程：，①，②③④⑤⑥⑦1212112211000120001122LLLLLLL/LLLLLKnnaabaa整理化简得：这是二元一阶微分方程组1121212111121,,LaanLnLLLLabaan当时，代入方程0nt0nt111211LL()abnNenabnNe解得：，111111/LaLbabn——可分离变量方程20nt111110nt22211()xbLabnNexbLnabnNe代入到基本方程组②中得到：20nt2111110nt2211211()(1)xabnNeabxbnabnNebab112112112112t000/()b()t1112111t000/()b()t11222212212L()L(1)()tbaaaantntbaaaantncKLxedeAeBebcbnbcabnKLxedeAeBeabbncbnbb代入到基本方程组②中得到：12aa当时，方程为二阶线性微分方程.解为：112112/()000110/()001121212112112LL[K/L/()]L(1)L[K/L/()]c1()tbaanttbaantcedcnbecabnedcnbeabnabncdaabnaa其中，结论：1.均衡增长(两部类比例不变)的充要条件是B1=B2=0，即K0=a2L0/[1－(a1－a2)b1n]，K0、L0为初始值；或a1=a2均衡增长解：xi=Aient；2.要保证各部类经济增长逐渐稳定在均衡增长解，则要a2a1;3.要保持经济增长率与劳动力增长同步，则要n1/b1(a1－a2);112112/()12t()121122t2.lim0lim(b)limtbaatbaataaeaaxbxme证：显然时，而时，因此，要保持按比例发展，应该始终保持消费生产的资本强度大于生产资料生产的资本强度。否则，将发生比例失调。112112/()112/()1121121121121'/()3.limlimn,n1/b()/(),n1/b()1/(),n1/b(tbaantiiitbaantttiiiiiiixnAeBebaaxAeBeaanABbaaaaABbaa12112i1,2)n1/b()aaaa即时，各部类经济增长率渐近稳定，并且与劳动增长率相同；否则，将出现劳动力与经济增长比例失调。(,),uuMdxNdyduxyMNxy证则22,MuNuMNyyxxxyyx故22,,,()MNuMdxyxuMNuuNdx