高等数学上册复习提纲

第一章极限与连续一、数列极限1.定义（变化趋势、常数、精确）（了解）2.两个准则3.计算（1）常规（2）n转化为x（如果想用导数来讨论数列）（3）夹逼准则（4）定积分定义1.“对任意给定的数，总存在正整数N，当nN时，恒有”是数列收敛于数的.(A)充分条件但非必要条件；(B)必要条件但非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非必要条件也非充分条件.1,02axn2.已知极限存在，且函数f(x)满足，则.elimxfxeeeln1limeexxxxfxfxxelimxfx4.设函数f(x)在x=0的某邻域内有定义且满足，试证明f(x)在x=0处连续.3.lim22nnnnln1||fxx1115.lim12nnnnn二、函数极限1.定义函数在某一点处的极限和该点处的函数值可以没有任何关系。2.计算（1）等价替换（2）洛比达法则积分上限函数求导问题3.无穷大与无界量的一种常规说明方式。0613cos1.limlnxxxx2171.limlnxxxx8.设f(x)是内的连续函数，且，试求极限.),(00f000dlimdxxxtfxttxfxtt9．当时，函数是[](A)无穷小量；(B)无穷大；(C)有界量，但不是无穷小量；(D)无界的，但不是无穷大.xxxfxsine三、无穷小比较定义→极限的计算无穷小的阶10.将时的无穷小量，，排列起来，使得后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列顺序是0xxtt0dsinxtt0dtan20e1dxtt1.定义2.分段函数在分段点处连续性3.间断点及其类型四、连续性五、闭区间上连续函数的性质1.有界性2.最值3.零点与介质定理（根的存在性）11.设函数在内连续，且则常数a、b满足[].(A)(B)(C)(D)sinebxxfxa,lim0,xfx0,0ab0,0ab0,0ab0,0ab13.设函数f(x)、g(x)在内有定义，且分别各有唯一的间断点x1、x2，则必有间断点的函数是[](A).(B).(C).(D).,21xxfxgxxgffxgxsinsinfxgx第二章导数一、导数1.定义（变化率）（1）直接（2）分段函数1.设函数f(x)在x=2处连续，且,试证f(x)在x=2处可导5sin232lim0xxfx2.确定常数a、b，使函数在x=0处可导；0,,0,exbaxxxfx2.几何、物理意义3.若曲线y=lnx与曲线y=ax2相切，则常数a=3.概念关系可微可导连续可积有界极限存在4.计算（1）基本计算（2）高阶导数（3）隐函数（4）参数方程（5）相关变化率4.设函数，求.)1('f122)2()(xxxf5.设函数f(x)在内具有各阶导数，且f'(x)=f2(x)，f(0)=1，则f(n)(0)=,6．若函数具n有阶导数，试写出计算函数u(x)v(x)的n阶导数的莱布尼茨公式，并求xe2x的10阶导数．8.设求ttytx3arctan3191ln231dd22txy7.设函数y=y(x)是由方程exy+sin(x2y)=2y确定，则dy|x=0=.9.设有一球体,其半径以0.02m/s的速率增加,求当半径为2m时,体积及表面积的增加速率各为多少?二、微分1.定义)(xoxAy2.几何意义)('0xfdyy3.计算dxxfdy)('第三章中值定理及导数应用一、微分中值定理条件和结论1.罗尔定理根的存在在性2.拉格朗日定理∆y与∆x间的等式关系3.柯西定理两个函数的情况二、泰勒公式1.条件和结论2.两种余项3.几个常见的带皮亚诺型余项的函数（计算极限）4.证明根的存在性及不等式三、导数的应用1.单调性、极值与最值驻点与极值点2.凹凸性与拐点二阶导数为零点与拐点四、图形的描绘渐近线（水平、竖直、斜）五、曲率1.定义2.计算第四章不定积分一、概念1.原函数2.不定积分二、计算1.积分表2.三种方法3.有理函数及可化为有理函数的积分第五章定积分一、概念几何、物理意义与性质二、计算1.N---L公式2.三种方法3.独特结果（奇偶、周期、三角函数、递推）三、反常积分1.无穷限2.无界函数瑕点在端点第六章定积分的应用一、元素法二、几何应用1.平面图形面积（1）直角坐标（2）极坐标2.体积（1）旋转体（2）平行截面面积已知的立体3.弧长（1）直角坐标（2）参数方程（3）极坐标4.表面积三、物理应用1.变力沿直线作功（1）电场力（2）抽水（3）……2.水压力3.引力第七章定积分的应用一、一阶微分方程1.可分离变量2.线性3.齐次4.伯努利dydx化为类型二、二阶微分方程1.可降阶（1）)(xfy（2）(,')yfxy（3）(,')yfyy3.常数变易法（线性微分方程）解的结构2.常系数线性微分方程)('xfqypyy