高等数学下复习第七章

第七章微分方程微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.例,xyy,0)(2xdxdtxt一、微分方程的概念微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.(1)通解:微分方程的解中含有独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,yy例;xCey通解二、一阶微分方程dxxfdyyg)()(可化成形如：解法：dxxfdyyg)()(分离变量法1.可分离变量的微分方程例1求解微分方程.2的通解xydxdy解分离变量,2xdxydy两端积分,2xdxydy12lnCxy.2为所求通解xCey，cosxsinydycosysinxdx40xy例2求微分方程的满足初始条件的特解求下列微分方程的解:1、0tansectansec22xdyyydxx；2、0)()(dyeedxeeyyxxyx；3.0sin)1(cosydyeydxx,40xy.练习题练习题答案1、Cyxtantan；2、Ceeyx)1)(1(；3、yexcos221.2.齐次方程()dyyfdxx解法：,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程形如：例1求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu.lnsinCxxy微分方程的解为解22dyydxxyx2,1yxyx,xyu令,udxxdudy则2,1uuxuu22+.dydyyxxydxdx例2解方程解lnln,uuxC微分方程的解为lnyyCx1(1),dxduux练习：解微分方程2201.2sin3cos3cos02.320,|1xyyyxydxxdyxxxyxdyxydxy答案：233221.sin2.yxCxyyx)()(xQyxPdxdy标准形式:,0)(xQ当称为齐次的.称为非齐次的.,0)(xQ当3、线性微分方程例如,2xydxdy,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的..0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey（1）线性齐次方程解法——常数变易法(使用分离变量法)（2）()()dyPxyQxdx()Pxdxyuxe令的解，则有),()()(xQexudxxP为方程,)()()(CdxexQxudxxP积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx解例1例2如图所示，平行于y轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.)(xfy)0(3xxy)(xf,)()(230yxdxxfxxyxydx03,两边求导得,32xyy解解此微分方程xyoxPQ3xy)(xfydxexCeydxdx23,6632xxCex,0|0xy由,6C得所求曲线为).222(32xxeyx23xyy练习：解微分方程201.12cos02.tansec,|0xxyxyxdyyxxydx答案：2sin1.12.cosxCyxxyx(n)yfx1、型方法：两边积分121ysinx.x求方程的通解例1三、可降阶的微分方程ypx,yp,代入原方程得特点：右端不显含因变量y解法：yfx,y2、型则pfx,p20xyyx.求方程的通解例2练习：求微分方程的解11210xyyyey)(ypy设,dydPpdxdydydpy则代入原方程得特点：右端不显含自变量x解法：yfy,y3、型dppfy,pdy.02的通解求方程yyy解,dydPpy则),(ypy设代入原方程得,02PdydPPy,0)(PdydPyP即，由0PdydPy,1yCP可得.12xceCy原方程通解为,1yCdxdy例3练习：求微分方程的解002131220xxyy,y|,y|yyy四、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个解,那末2211yCyCy也是(1)的解.（21,CC是常数）问题:一定是通解吗？2211yCyCy)1(0)()(yxQyxPy说明:若在I上有常数，)()(21xyxy则函数)(1xy与)(2xy在I上线性无关.定理2：如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个线性无关的特解,那么2211yCyCy就是方程(1)的通解.例如,0yy,sin,cos21xyxy,tan12常数且xyy.sincos21xCxCy2.二阶非齐次线性方程的解的结构:定理3设*y是二阶非齐次线性方程)2()()()(xfyxQyxPy的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么*yYy是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.定理4设非齐次方程(2)的右端)(xf是几个函数之和,如)()()()(21xfxfyxQyxPy而*1y与*2y分别是方程,)()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy的特解,那么*2*1yy就是原方程的特解.解的叠加原理五、二阶常系数线性微分方程,rxey设将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程,2422,1qppr特征根0qyypy1.齐次线性微分方程有两个不相等的实根,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy)0(特征根为有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则,)(12xrexuy设另一特解为特征根为有一对共轭复根1,ri2,ri()1,ixye()2,ixye)0(重新组合)(21211yyy,cosxex2121()2yyyi,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx特征根为4-50yyy.求方程的通解解特征方程为24-50rr,解得1215rr，故所求通解为512xxyCeCe例1.044的通解求方程yyy解特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例2.052的通解求方程yyy解特征方程为,0522rr解得,2121jr，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx例3二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx一、求下列微分方程的解:1、04yy；2、02520422xdtdxdtxd；3、0136yyy；二、下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、0,2,04400xxyyyyy；2、3,0,013400xxyyyyy三、求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使3,2,,1xxxeee都是它的解.练习题练习题答案一、1、xeCCy421；2、tetCCx2521)(；3、)2sin2cos(213xCxCeyx；二、1、)2(2xeyx；2、xeyx3sin2.三、0yy.(提示:为两个xe,1线性无关的解))(xfqyypy2.二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程,0qyypy通解结构*,yYy(1)()()xmfxePx设非齐次方程特解为*()xyQxe代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm不是特征方程的根，若)1(,02qp),()(xQxQm可设是特征方程的单根，若)2(,02qp,02p),()(xxQxQm可设*();xmyQxe*();xmyxQxe是特征方程的重根，若)3(,02qp,02p),()(2xQxxQm可设综上讨论*(),kxmyxeQx是重根是单根不是根2,10k2*().xmyxQxe.232的通解求方程xxeyyy解对应齐次方程通解特征方程,0232rr特征根，，2121rr,221xxececY是单根，2,)(2xeBAxxy设代入方程,得xABAx22,121BAxexxy2)121(于是原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy例1(1)(2)*[()cos()sin],kxmmyxeRxxRxx次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max01ik,i，不是特征方程的根，是特征方程的根()[()cos()sin]xlnfxePxxPxx(2)型.sin4的通解求方程xyy解对应齐次方程通解,sincos21xCxCY作辅助方程,4jxeyy,是单根j,*jxAxey故代入上式,42Aj,2jA,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx所求非齐方程特解为,cos2xxy原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy（取虚部）例25.4cos2yyxx例3写出微分方程的特解形式3.323xyyyxe4.4cosyyxx2.2xxyyyxee21.446yyyx(1)()()xmfxePx*();kxmyxeQx],sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx(1)(2)*[()cos()sin];kxmmyxeRxxRxx01ik,i不是根是单根是重根是单根不是根2,10k小结：练习：设