高等代数与中学数学的联系

目录摘要................................................................................IAbstract...........................................................................I1引言.............................................................................12知识方面的联系................................................................12．1多项式理论的应用...........................................................12．2行列式的应用................................................................22．3柯西不等式的应用...........................................................32．4二次型的应用................................................................43思想方面的联系................................................................43．1符号化思想..................................................................43．2分类思想.....................................................................53．3化归与转化思想..............................................................53．4结构思想.....................................................................63．5公理化方法..................................................................63．6坐标方法.....................................................................63．7构造性方法..................................................................74观念方面的联系................................................................7结束语.............................................................................8参考文献..........................................................................8致谢...............................................................................10内江师范学院毕业论文摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合．关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用Abstract:Theproblemsrelatedtoelementarymathematicsareanalyzedandexplainedbyusingthetheory，method，thoughtsandviewsofhigheralgebra．Throughanalyzingsometypicaltestquestions，therelationbetweenhigheralgebrasandelementarymathematicsareinvestigatedfromtheaspectsofknowledge、thoughtandidea.Exploringthehighermathematicsviewtomiddleschoolmathematicssometeachingcontenttheoryandmodel，deepeninganddevelopmentinhigheralgebrainmiddleschoolmathematicsrelatedcontent，andpromotehigheralgebrainthemiddleschoolmathematicsfieldofapplication，andtoexploretheinnerlink，sothathigheralgebracanbecombinedwiththemiddleschoolclosely．Keywords:higherAlgebra；middleschoolmathematics；mathematicalthinking；application内江师范学院毕业论文11引言高等代数作为数学专业的主干专业基础课之一，是初等代数的延伸与提高．运用高等代数的望远镜和显微镜剖析各类高等数学课程与中学数学之间的关联是一项长期有效的措施]1[．以实现中学式思维方式向大学式思维方式的过度与转变为目标，引导学生在二者之间建立一座桥梁．教师方面，有利于帮助中学教师融会贯通中学教学的相关内容，让中学教师利用高等数学的相关理论、方法与观点解决中学数学的相关问题，以上位者的姿态理解中学教学内容的本源，知其所以然，促进知识的深化；学生方面，也能激发学生的学习兴趣，扩大高等数学知识在中学教学中的应用面，加深高等代数知识与中学数学的关联．在理解中学数学与高等代数之间的联系后，中学教师能更好地展开相关教学工作，学生能更好地完成相关教学任务．本文将从数学知识、数学思想、数学观点三个层面研究高等代数与中学数学的联系]2[．2知识方面的联系2．1多项式理论的应用作为高等数学主要内容之一的多项式理论，它与中学代数有着密不可分的关联．利用多项式理论解决了中学数学中的诸多遗留难题，如多项式的根与因式分解理论，由此可见，高等代数知识对解决中学的中学代数问题有着“居高临下”的作用．例1多项式17345)(234xxxxxf，当142xx时，求此多项式的值．解将条件等式变形为142xx，由)(1xf，所以)(42xfxx．由多项式除法，得173)4)(()(22xxxxxxf，再将142xx代入上式，可得18174)(2xxxf．例2已知cba、、为整数，且满足accbba与cbbcca均为整数，求证cba．证明设))()(()(acxcbxbaxxf．于是1)()()(23xabbccaxaccbbaxxf．由已知条件知)(xf是首项系数为1的整系数多项式，且ba，cb，ac均为它的三个有理整内江师范学院毕业论文2数根，又因为它们的乘积为1，所以1accbba，故cba．2．2行列式的应用“矩阵与变换”作为普通高中新课改的选修模块之一]3[，在历年高考中有着广泛的命题基础，包含了中学数学中一些典型问题，如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，若能在解题中适当利用行列式知识，这些问题往往可以迎刃而解．例3已知函数dcxbxaxxf23)(，满足0)1(f，6)1(f，9)2(f，4)3(f，求)(xf．解由已知条件，得4333922261110)1()1()1(23232323dcbadcbadcbadcba把上式看成关于a，b，c，d的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式1333122211111)1()1()1(23232323，由行列式与线性方程组的理论，可得1a，2b，4c，1d，即142)(23xxxxf．例4试分解多项式xyzzyx3333．解构造一个行列式D，使它等于此多项式，即xyzzyxxzyyxzzyxD3333．而xyzxyzxyzDzxyyzx内江师范学院毕业论文3xzyyxzzyx111)(222=()()xyzxyzxyyzzx．所以，xyzzyx3333可分解为：))((222zxyzxyzyxzyx．此外，当系数行列式不等于零时，可以利用行列式给出线性方程组的解；已知顶点坐标或三边方程，就可以利用行列式表示三角形面积]4[；利用行列式也可求直线﹑平面的方程等等．2．3柯西不等式的应用定理]5[1（柯西-施瓦茨不等式）在欧氏空间里，对于任意向量，有不等式，　，，2，当且仅当与线性相关时，等号成立．在欧氏空间nR里，取)…(21naaa，，　，，)...(21nbbb，，　，＝时，就有柯西不等式对任意实数组naaa，，　，…21和nbbb，，　，...21，有22211)…(nnbababa)...)(…(222212n2221nbbbaaa．当且仅当)21(，　ikbaii时，上式的等号成立．特别的，)…21(1nibi，，　，　时，有)…()…(2n2221221aaanaaan．所以，柯西不等式作为高等代数的重要内容之一，是初等数学与高等代数的重要结合点之一，也是柯西-施瓦茨不等式在欧氏空间nR中的具体体现，运用柯西不等式解决中学中的相关问题，有时会显得直接明了．例5已知P为ABC内一点，aBC，bCA，cAB，点P到ABC的三边BC，CA，AB的距离分别为1d，2d，3d．求证：ABCScbadcdbda2)(2321．证明由题意知3212cdbdadSABC，要证明结论成立，只需证内江师范学院毕业论文42321321)())((cbacdbdaddcdbda，由柯西不等式得，上式显然成立，所以ABCScbadcdbda2)(2321．2．4二次型的应用作为高等代数的重要内容之一的二次型，在数学与物理领域都有着广泛运用，在一些相关数学问题中，巧用二次型知识解决中学数学中的一些难题，往往可以起到事半功倍的效果．定理]6[设n元二次型'()fxxAx，则f在条件112niiX下的大（小）值恰为矩阵A的最大（小）特征值．例6设2232)(yxyxxf，且满足122yx，求)(xf的最大值与最小值．解二次型),(yxf的矩阵3111A，则2431112AI，解得221，222，于是由以上定理可得，)(xf在122yx下的最大值为22，最小值22．3思想方面的联系3．1符号化思想原始的符号作为记录的工具，为人类发展做出了巨大的贡献，而数学的发展是离不开符号的发展的．最初的人类从具体数量中抽象出数字，并以此制订了运算法则，在此基础上不断发展，使用字母符号表示数，延伸出多项式，使用各种符号创建出抽象的代数系统，如：向量空间、欧氏