高等几何讲义(第4章).

第四章二次曲线的射影理论§1.配极与二次曲线1.二阶曲线与二级曲线给定配极射影平面上，配极的自共轭直线的轨迹称为二级曲线．射影平面上，配极的自共轭点的轨迹称为二阶曲线．其中，aijaji，Aij是(aij)中aij的代数余子式．其对应的二阶曲线和二级曲线方程为：(1,2,3)(x1,x2,x3)(aij)(x1,x2,x3)(1,2,3)(Aij)．：§1.配极与二次曲线由于配极有两种类型，故曲线也如此．若配极为双曲型，则其对应二级曲线有无穷多实直线，故也称为二次线束．(如下图)若配极为双曲型，则其对应二阶曲线有无穷多实点，故也称为二次点列．(如下图)配极对应的二级曲线方程为：配极对应的二阶曲线方程为：(x1,x2,x3)(aij)0．(1)x1x2x3(1,2,3)(Aij)0．(1)/123即aijxixj0,aijaji．即Aijij0,AijAji．§1.配极与二次曲线若配极是椭圆型的，则其对应二级曲线不存在，或说对应虚二级曲线．若配极是椭圆型的，则其对应二阶曲线不存在，或说对应虚二阶曲线．由于配极与曲线的对应，故可将配极的相关概念移植到曲线．下面就双曲型配极对应的曲线讨论点、直线与曲线的关系．§1.配极与二次曲线1.切线：的自共轭直线．切点为该直线上的自共轭点；(其等价定义：切线是有唯一属于二阶曲线的点的点列)1.切点：的自共轭点．切线为过该点的自共轭直线；(其等价定义：切点是有唯一属于二级曲线的直线的线束)2.二切点线(割线)：过二自共轭点的直线；2.二切线点：有二自共轭直线通过的点；3.无切点线(离线)：不过自共轭点的直线．3.无切线点：无自共轭直线通过的点．abc§1.配极与二次曲线2.极点与极线二次曲线配极的极点和极线，称为其对应二阶曲线和二级曲线的极点和极线．定理1/对于二级曲线定理1对于二阶曲线直线的极点方程为点y的极线方程为(x1,x2,x3)(aij)0．(2)x1x2x3(1,2,3)(Aij)0．(2)/123(y1,y2,y3)(aij)0．(3)x1x2x3(1,2,3)(Aij)0．(3)/123§1.配极与二次曲线下述定理表明，二阶曲线与二级曲线就其本质而言是一样的．推论1/点y关于二级曲线(2)/的极线坐标为(1,2,3)(y1,y2,y3)(aij)．推论1直线关于二阶曲线(2)的极点坐标为(x1,x2,x3)(1,2,3)(Aij)．推论2/属于二级曲线(2)/的任意直线的切点方程为推论2在二阶曲线(2)上的任意点y的切线方程为(y1,y2,y3)(aij)0．x1x2x3(1,2,3)(Aij)0．123§1.配极与二次曲线定理2/二级曲线定理2二阶曲线的切点集合为二阶曲线的切线集合为二级曲线其中，Aij是(aij)中aij的代数余子式．其中，Bij是(bij)中bij的代数余子式．(x1,x2,x3)(aij)0．(2)x1x2x3(1,2,3)(bij)0．123(x1,x2,x3)(Bij)0．x1x2x3(1,2,3)(Aij)0．(2)/123xyz定理3不在二次曲线上的点为二切线点其极线是二切点线，且极线与曲线的两交点与此二切线点所连直线是切线．因上述二相互对偶的定理，二阶曲线与二级曲线统一了起来，将二者统称为二次曲线．方程(2)和(2)/分别是二次曲线的点坐标方程和线坐标方程．由此可知：二级曲线是配极变换的自共轭直线的集合，它与二阶曲线是对偶的．§1.配极与二次曲线xyz证明：设过二切线点x的两条切线、的切点分别为y、z．从而x的极线与曲线交于y、z两点．即是二切点线．反之，设点x的极线与曲线交于y、z两点．因点x的极线过y、z两点，故y、z的极线、过x．这即是说、就是过x的两条切线．因y、z的极线、过x，故x的极线过y、z．§1.配极与二次曲线§1.配极与二次曲线推论不在曲线上的点是无切线点其极线是无切点线．例1已知二次曲线:x123x22x322x1x24x1x30和点a(1,0,1)，试判定点a是二次曲线的哪一类点．解法1：方程可改写为：由此可得a关于的极线:x1x2x30，解得x3x1x2，代入方程得x1x2x3(x1,x2,x3)1121302010．(*)3x122x1x22x220．因22432200，故为的无切点线，从而a是的无切线点．解法2：由(*)式可得，与a的线坐标方程分别为：:31232223221212134230，a:130，将a的线坐标方程代入的线坐标方程，得7122122220，其判别式22472520，故线束a中无的切线，即a是的无切线点．§1.配极与二次曲线§1.配极与二次曲线若一对点是配极的共轭点对，则称它们是对应的二次曲线的共轭点对．定理4若过点对x、x/的直线交二次曲线于u、v两点，则x与x/是的共轭点对(uv;xx/)1．xx/vu证明：设：(x)(aij)(x)T0．因x、x/、u、v共线，故可设(x)(u)(v)，(x/)(u)+(v)．又(x)(aij)(x/)T[(u)+(v)](aij)[(u)+(v)]T(u)(aij)(u)T+[+](u)(aij)(v)T+(v)(aij)(v)T．因u、v为上二点，故(u)(aij)(v)T0且(x)(aij)(x/)T[+](u)(aij)(v)T．所以，x与x/是的共轭点对(x)(aij)(x/)T0[+](u)(aij)(v)T0+0(uv;xx/)1．§1.配极与二次曲线注意：此定理将共轭与调和共轭联系了起来．a/b/c/ab//c//sbca//qpr§1.配极与二次曲线证明：因三点形abc与三点形a//b//c//对应顶点连线共点，故对应边交点(ab)(a//b//)p，(bc)(b//c//)q，(ca)(c//a//)r共线．例2由二次曲线的内接三点形abc的各顶点作此曲线的切线，构成外切三点形a/b/c/，从不在上述各直线上任一点s与a、b、c分别连直线交对边于a//、b//、c//．求证：a/a//、b/b//、c/c//共点．a/b/c/ab//c//sbca//qpr在完全四点形sa//cb//的对角线ab上，有(ba;pc//)1，因a、b在曲线上，故p与c//是一对共轭点．又p在c/的极线ab上，故p与c/共轭．因此，p的极线是c/c//．§1.配极与二次曲线同理，q的极线是a/a//，r的极线是b/b//．从而，因p、q、r共线，故a/a//、b/b//、c/c//共点．uwabcdxyv二次曲线对应的配极的自极三点形称为二次曲线的自极三点形．定理5二次曲线的内接完全四点形的对角三点形是曲线的自极三点形．证明：设的内接完全四点形abcd的对角三点形为uvw，并设x(uv)(ad)，y(uv)(bc)，则(ad;xw)1，故由定理4知x与w共轭，即w的极线过x；§1.配极与二次曲线同理，w的极线过y．因此，w的极线为xyuv．同理，u的极线为wv；v的极线为uw．所以三点形uvw是自极三点形．§1.配极与二次曲线利用定理5可以解决一些作图问题．例3作不在曲线上的已知点v关于的极线．abcduwvuΓxy例4过不在曲线上的已知点u，作的切线．作法：1)由例3作出u的极线，与曲线交得二点；2)分别与u连线，则得切线．§1.配极与二次曲线§1.配极与二次曲线例5直线关于二次曲线Γ的极点．作法：直线上任取二不在曲线上的点，作出各自的极线，则二线交点为直线的极点．例6任意点x关于二次曲线的极线．作法：过x任取两条直线，由例5作法作二直线的极点，连接二点所得直线即为x的极线．§1.配极与二次曲线3.二次曲线方程的简化形式因以自极三点形为坐标三点形时，配极可化为标准形式，故二次曲线的点坐标方程可简化为：b1x12b2x22b3x320．下面是另一种简化形式：定理6以二次曲线的一个二切线点和由此点作出的二切线的切点构成的三点形为坐标三点形，则曲线方程可写为：x12kx2x30(k0)．注：也可写为：x22kx1x30或x32kx1x20．o(1)o(2)o(3)a22a330．又点(1,0,0)的极线为(1,0,0)，故a12a130．再令k2a23/a11即得证．§1.配极与二次曲线证明：取该二切线点为o(1)，由其所引切线而得二切点分别为o(2)、o(3)，以o(1)o(2)o(3)为坐标三点形．设曲线为:(x)(aij)(x)T0，aijaji．因点(0,1,0)和(0,0,1)在上，故代入方程可得§1.配极与二次曲线推论若在定理6中，选单位点在二次曲线上，则曲线方程为：x12x2x30．下面证明此处定义的切线与通常的切线定义一致．例7证明：直线为二次曲线的切线此直线与二次曲线交于二重点．证明：选取如推论中的坐标系，则的点坐标方程为：x12x2x30，其对应矩阵为200(aij)001．010§1.配极与二次曲线故的线坐标方程为：124230．设直线：1x12x23x30．因直线x1=0为二切点线，故不妨30．由此解出x3，代入点方程得3x121x1x22x220．故与交于二重点124230的坐标满足的线坐标方程是的切线．此矩阵的伴随矩阵为：(Aij)100002020，§2.一维射影对应与二次曲线本节将用一维射影对应研究二次曲线，并证明Pascal定理和Brianchon定理．1.二次曲线的射影定义定理1/设和/是二级曲线/的二不同定直线，是/的动直线，则由/定义的点列到点列/的映射是非透视的射影对应．定理1(Steiner)设z和z/是二阶曲线的二不同定点，x是的动点，则由zxz/x定义的线束z到线束z/的映射是非透视的射影对应．定理1证明思路：建立如图坐标系，则曲线方程为：x22x1x30，故可设x坐标为x(2,,2)．由此可计算对应直线坐标o(2)exz/o(3)zo(1)//zz/(0,0,1)(0,1,0)(0,1,0)(1,0,0)(0,1,1)/(1,1,0)(0,,)/(,,0)进而可验证(;)(;//)．由此证得定理．上述二对偶定理实际上给出了二阶曲线与一维射影对应的关系．上述定理的逆定理也成立：§2.一维射影对应与二次曲线o(2)o(1)o(3)ex//§2.一维射影对应与二次曲线定理2/设二不同底的点列成非透视的射影对应，则对应点的连线集合(或包络)为包含二点列底的二级曲线．定理2设二不同心的线束成非透视的射影对应，则对应直线的交点轨迹为通过二线束中心的二阶曲线．证明定理2：以此二线束的中心为o(1)、o(3)，记o(1)o(3)．设在此射影对应T下，，．TT1令o(2)．以o(1)o(2)o(3)为坐标三点形，并以一对对应直线和/的交点为单位点e