高等数学定积分.

定积分的概念与性质微积分基本定理定积分的换元法与分部积分法反常积分定积分的应用G.F.B.Riemann(1826-1866)第五章定积分（TheDefiniteIntegral）abxyo?A曲边梯形由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.)(xfy5.1.1三个引例5.1定积分的概念abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）ayo1xix1ix解决步骤:1)化整为零.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;分割ayo1xix1ix],[1iiixx2)局部以常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得)()(1iiiiiixxxxfAi近似3)积零为整.niiAA1niiixf1)(4)取极限消除误差.令则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(limayo1xix1ixi求和取极限实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvS)(部分路程值某时刻的速度（3）求和iinitvS)(1（4）取极限},,,max{21ntttiniitvS)(lim10路程的精确值(2)近似实例3（求非均匀细棒的质量）设在x轴上区间],[ba上有一细棒，已知其线密度),(x且,0)(x，求此细棒的质量M.（1）分割,1210bxxxxxann],[1iiixx任取iiixm)(（3）求和iinixM)(1（4）取极限},,,max{21nxxxiniixM)(lim10质量的精确值(2)近似iniixfA)(lim10iniitvS)(lim10iniixM)(lim10上述三个问题的共性:•解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”•所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限设函数)(xf在],[ba上有定义，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，定义5.1.2定积分的定义怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和iniixfA)(lim10iniitvS)(lim10iniixM)(lim10badxxf.)(badttv)(badxx)(注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关.称)(xf在区间],[ba上可积.例1利用定义证明.1abdxba解dxba1inix10lim.ab定理1若)(xf在区间],[ba上可积，则)(xf在区间],[ba上有界常用到的一些结论当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理2称)(xf在区间],[ba上可积.]),([]),([baRfbaCf即例2利用定义计算定积分.102dxxbaIdxxf)(iinixf)(lim10分析：由定积分的定义知定义中区间的分法和i的取法是任意的.解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)取iix，(ni,,2,1)iinixf)(1iinix21nnini121niin12316)12)(1(13nnnnn0dxx102iinix210lim.31定理4设函数)(xf在区间],[ba上有界，且只有有限个不连续点，则)(xf在区间],[ba上可积.定理3若)(xf在区间],[ba上单调，则)(xf在区间],[ba上定积分存在1对可积函数变动有限个点的值,可积性不变,积分值不变.2定理4的条件不是必要条件.注1()0qRx例黎曼函数pq[0,1]xx当为既约分数时，[0,1]x当为中的其它点时黎曼函数在[0,1]上所有有理点处不连续;结论：而在[0,1]上所有无理点连续,但可以证明R(x)在[0,1]上可积.则R(x)有无限个不连续点，例3证明定积分..0,1)()(10为无理数，为有理数，不存在，xxxDdxxD证明dxxD10)(iinixD)(lim10取无理数，，取有理数，iiniiinixx00lim,11lim1010由定义知该定积分不存在()yfxabOxy()fxab曲边梯形面积曲边梯形面积的负值A,())d(0bafxxxf,())d(0bafxxxfAAA定积分的几何意义xyO故1202dxxx利用定积分几何意义计算积分222,01,0yyxxx22(1)1,xy例41202dxxx解令22,[0,1]yxxx22yxx01,0xyxy(1,0)A4O小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：求和积零为整取极限精确值——定积分化整为零分割直（不变）代曲（变）近似思考题将和式极限：nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分.思考题解答原式nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1limninnin1sin1limnninin1sinlim1.sin10xdxixi习题5.12（2）、3（2）（3）、4，例5设函数)(xf在区间]1,0[上连续，且取正值.证明nnnnfnfnf21limnnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf21lim试证.10)(lndxxfe利用对数的性质得nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1指数上可理解为：)(lnxf在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n等分分点为nixi，（ni,,2,1）nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim110)(lndxxf故nnnnfnfnf21lim.10)(lndxxfe因为)(xf在区间]1,0[上连续，且0)(xf所以)(lnxf在]1,0[上有意义且可积,