高等数学第七章微分方程试题及答案

1第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（1）方程形式：0yQyQxPdxdy通解CdxxPyQdy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：02211dyyNxMdxyNxM通解CdyyNyNdxxMxM12210,012yNxM2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程xyfdxdy令uxy，则ufdxduxudxdycxcxdxuufdu||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程0yxPdxdy它也是变量可分离方程，通解dxxPCey，（c为任意常数）2．一阶线性非齐次方程xQyxPdxdy用常数变易法可求出通解公式令dxxPexCy代入方程求出xC则得CdxexQeydxxPdxxP3．伯努利方程1,0yxQyxPdxdy令1yz把原方程化为xQzxPdxdz11再按照一阶线性非齐次方程求解。4．方程：xyPyQdxdy1可化为yQxyPdydx以y为自变量，x为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式xfyn通解nnnnnnCxCxCxCdxxfy12211次yxfy,令py，则py，原方程pxfp,——一阶方程，设其解为1,Cxgp，即1,Cxgy，则原方程的通解为21,CdxCxgy。yyfy,令py，把p看作y的函数，则dydppdxdydydpdxdpy把y，y的表达式代入原方程，得pyfpdydp,1—一阶方程，设其解为,,1Cygp即1,Cygdxdy，则原方程的通解为21,CxCygdy。2四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程0yxqyxpy（1）二阶非齐次线性方程xfyxqyxpy（2）1．若xy1，xy2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合xyCxyC2211（1C，2C为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当xyxy21（为常数），也即xy1与xy2线性无关时，则方程的通解为xyCxyCy22112．若xy1，xy2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则xyxy21为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3．若xy为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xy为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则xyxy为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xyCxyC2211为对应的二阶齐次线性方程的通解（1C，2C为独立的任意常数）则xyCxyCxyy2211是此二阶非齐次线性方程的通解。5．设xy1与xy2分别是xfyxqyxpy1与xfyxqyxpy2的特解，则xyxy21是xfxfyxqyxpy21的特解。五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1．二阶常系数齐次线性方程0qyypy其中p，q为常数，特征方程02qp特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）特征方程有两个不同的实根1，2则方程的通解为xxeCeCy2121（2）特征方程有二重根21则方程的通解为xexCCy121（3）特征方程有共轭复根i，则方程的通解为xCxCeyxsincos212．n阶常系数齐次线性方程012211ypypypypynnnnn其中nipi,,2,1为常数。相应的特征方程012211nnnnnpppp特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。（1）若特征方程有n个不同的实根n,,,21则方程通解xnxxneCeCeCy2121（2）若0为特征方程的k重实根nk则方程通解中含有y=xkkexCxCC0121（3）若i为特征方程的k重共轭复根nk2，则方程通解中含有xxDxDDxxCxCCekkkkxsincos121121由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。3六、二阶常系数非齐次线性方程方程：xfqyypy其中qp,为常数通解：xyCxyCyy2211其中xyCxyC2211为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？1．xnexPxf其中xPn为n次多项式，为实常数，（1）若不是特征根，则令xnexRy（2）若是特征方程单根，则令xnexxRy（3）若是特征方程的重根，则令xnexRxy22．xexPxfxnsin或xexPxfxncos其中xPn为n次多项式，,皆为实常数（1）若i不是特征根，则令xxTxxReynnxsincos（2）若i是特征根，则令xxTxxRxeynnxsincos例题：一、齐次方程1.求dxdyxydxdyxy22的通解解：10)(22222xyxyxxyydxdydxdyxyxy令1,2uudxduxuuxy则0)1(duuxudx11Cxdxduuu，1||lnCuxu，xyuuCceyceexu,12.011dyyxedxeyxyx解：yxyxeyxedydx11，令yuxuyx,.(将y看成自变量)dyduyudydx,所以uueuedyduyu1)1(uuuuueeuueeuedyduy11ydydueueuu1,ydyeueuduu)(,yyceuu1lnlnlnceuyu1,yxueyxceucy,cyexyx.二、一阶线形微分方程1..1)0(,0)(ydyxyydx解：可得0)1(1xyxdydx.这是以y为自变量的一阶线性方程解得)ln(ycyx.0)1(x,0c.所以得解yyxln.42.求微分方程4yxydxdy的通解解：变形得：341yxydydxyyxdydx即，是一阶线性方程3)(,1)(yyQyyPCyyCdyeyexdyydyy413131三、伯努力方程63'yxyxy解：356'xyyxy，256xxyydxdy，令,5uy''56uyy,25xxuu，255'xuxu.解得)25(25xcxu，于是35525xcxy四、可降阶的高价微分方程1.求)1ln()1(xyyx的通解解：令pypy则,,原方程化为)1ln()1(xppx1)1ln(11xxpxp属于一阶线性方程111111)1ln(Cdxexxepdxxdxx11)1ln()1ln(1111xCxCdxxx2111)1ln(CdxxCxy212)1ln()(CxxCx2.1)0(',2)0()'(''22yyyyy，解：令dydppypy'''，则，得到ypdydpp22令up2,得到yudydu为关于y的一阶线性方程.1)]0('[)0(0|22ypxu，解得yceyu1所以2)0(121)0(0|1ceceyxuy,0c.于是1yu,1ypdxydy1,112cxy,2211cxy2)0(y,得到121c,得解121xy五、二阶常系数齐次线形微分方程1.0'''2'''2)4()5(yyyyyy解：特征方程012223450)1)(1(22，ii5,43,21,,1于是得解xxccxxccecyxcos)(sin)(543212.06'10''5)4(yyyy，14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(yyyy解：特征方程0610524,0)22)(3)(1(2511,32,i14,3得通解为)sincos(43321xcxceececyxxx由14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(yyyy得到211c,212c,13c,14c得特解)sin(cos21213xxeeeyxxx六、二阶常系数非齐次线形微分方程1.求xeyyy232的通解解：先求齐次方程的通解，特征方程为0322，特征根为1,321。因此齐次方程通解为xxeCeCY231设非齐次方程的特解为1,由于y为特征根，因此设xxAey,代入原方程可得21A，故原方程的通解为xxxxeeCeCy212312.求方程xyyycos222的通解解：特征方程为022，特征根为1,221，因此齐次方程的通解为xxeCeCY221设非齐次方程的特解为y,由于题目中ii2,2,0不是特征根，因此设xBxAy2sin2cos，代入原方程可得xxBABxABA2cos22sin)422(2cos)422(226BA，026AB解联立方程得101,103BA，因此xxy2sin1012cos103__故原方程的通解为xxeCeCyxx2sin1012cos1032213.xxxyycos22sin3''解：特征根为i，齐次方程的通解为：xcxcysincos21xyy''，xyccxccy1,02121xyy2sin3''，xcxcxcxcexyx2cos2sinsincos21210待入原式得出：0,121cc，所以xy2sinxyycos2''，xxcxcxcxcexyx)sincos(sincos21211待入原式得出：1,021cc，所以xxysin故原方程的通解为xxxxxcxcysin2sinsincos21七、作变量代换后求方程的解1.求微分方程2322)1(1)(ydxdyxxy的通解解：令,tan,tanvxuy原方程化为uvdvuduvvu322secsecsecsec)tan(tan化简为1)sin(dvduvu再令