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《高等数学》教学大纲一、教学目的1．使学生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法。2．使学生具有抽象的思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。二、教学时间高等数学的教学时间为二个学期。第一学期每周6课时（约14周）；第二学期5课时（约17周）。实际授课约164课时。三、具体教学内容高等数学的内容相当丰富，涉及到数学的许多分支，内容包括：一元微积分、多元微积分、微分方程、空间解析几何与矢量代数，级数。具体要求如下：第一章函数与极限（18课时）1．函数的概念及其特性，复合函数，反函数，分段函数，基本初等函数，初等函数。2．数列与函数极限的意义及其性质，极限存在的的判别，无穷大量与无穷小量的概念及其关系，无穷小量的性质及其比较。3．连续函数的概念，函数间断的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。第二章微分学（18课时）1．导数，左（右）导数的概念，导数的基本公式及运算法则，复合函数，反函数，隐函数，由参数方程（极坐标方程）所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，可导与连续的关系。2．微分概念、公式及运算法则，高阶微分，微分在近似计算中应用。3．中值定理，泰勒定理，洛必达法则，导数的应用。第三章不定积分（12课时）1．原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质和基本积分公式。2．不定积分的换元法和分部积分法。3．有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分。第四章微分方程（16课时）1．微分方程的基本概念，阶、解、通解、初始条件和特解。2．变量可分离，齐次方程，一阶线性方程。3．特殊二阶微分方程和二阶常系数微分方程。第五章定积分（12课时）1．定积分的概念、性质及可积的原则与不定积分的联系。2．定积分的计算，换无法和分部积分法。3．定积分在几何方向与物理方向的应用。第六章空间解析几何与矢量代数（12课时）1．空间坐标系与两点间距离。2．矢量的概念，运算（加法、减法、数乘、数函数、矢量积和混合积）。3．曲面方程和空间曲线的概念，空间中的平面和直线，平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，夹角，点到直线（平面）的距离。4．常见的二次曲面方程及其图形，坐标轴的变换。第七章多元函数微分学（12课时）1．多元函数的概念，极限和连续，偏导数与显微分的概念及求法。2．复合函数，隐函数的微分法。3．偏导数的应用，方向导数，二元函数的泰勒展开式和极值。第八章重积分（10课时）1．二重、三重积分的概念及性质。2．二重、三重积分的计算。3．重积分的应用：几何方向和物理方向。第九章曲线积分、曲面积分（12课时）1．两类曲线积分的概念、性质及运算，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。2．两类曲面积分的概念、性质及计算，高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关的条件。3．曲线、曲面积分的应用。*4．矢量函数的极限、连续、导数，数量场和矢量场。第十章级数（14课时）1．数项级数的收敛与发展的概念，收敛和，收敛级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛。2．函数项级数的收敛，收敛域和函数，*一致收敛及和函数的情形。3．幂级数及其收敛半径，收敛区间，收敛域，和函数性质，幂级数的展开式及其在近似计算中的应用。4．傅里叶级数及其展开，收敛问题的定理。第十一章广义积分与含参变量积分（8课时）1．两类广义积分的概念，收敛的性质及其判别。2．两类广义积分的联系。3．Г-函数和В-函数。4．含参变量的积分的概念及其性质。*第十二章微分方程理论（10课时）1．一阶常微分解的存在2．高阶微分方程的概念和几类特殊的高阶微分方程。3．n阶线性微分方程的解的结构及性质。4．常系数线性微分方程，尤拉方程。5．标准方程组及首次积分，线性方程组解结构的理论。6．常系数线性方程组。7．微分方程组的级数解法与数值解法。8．一阶偏微分方程。四、教学要求函数与极限1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法。2．了解函数性质：奇偶性，单调性，周期性和有界性。3．理解复合函数和分段函数的概念，了解反函数与隐函数的概念，并会建立简单应用问题中的函数关系式。4．掌握基本初等函数的性质及其图形。5．理解函数极限、左（右）极限的概念以及函数极限存在与左右极限之间的关系。6．掌握极限的性质及四则运算法则。7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它求极限。8．掌握两个重要极限并会利用它求极限。9．理解无穷小（大）的概念，掌握无穷小的比较方法，并会根据等价无穷小求极限。10．理解函数连续，左（右）连续的概念，会判别函数间断点的类型。11．了解连续函数的性质及闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质解题。微分学1．理解导数的概念，几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，理解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量。2．掌握导数的四则运算和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，会求分段函数，隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数。4．理解微分的概念，了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性求微分。了解微分在近似计算中的应用。5．理解可导与连续，可导与可微的关系。6．理解并会用罗尔、拉格朗日中值定理和泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。7．掌握用洛比达法则求未定式极限的方法。8．理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握求函数最值的方法及其简单应用。9．会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的渐近线，并会描绘函数的图形。10．了解曲率和曲率半径的概念并会计算。11．了解求方程近似解的方法：弦位法和牛顿的切线法。不定积分1．理解原函数与不定积分的概念。2．熟练掌握不定积分的基本公式、性质和运算。3．熟练掌握换元积分法和分部积分法。4．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。微分方程1．了解微分方程及其阶的解、通解，初始条件和特解的概念，了解一阶微分方程解的存在性与唯一性定理。2．掌握变里可分离及一阶线性微分方程的解法。3．会用代换法解一阶齐次方程y″=f(x)、y″=f(x,y′)和y″=f(y,y′)。4．了解二阶常系数线性方程的解的结构，掌握二阶常系数线性方程的解法。定积分1．理解定积分的概念，了解可积的准则。2．掌握定积分的性质及其与不定积分的联系，掌握换元积分法，分部积分法和牛顿-莱布尼兹公式。3．理解变上限定积分定义的函数，并会求它的导数。4．掌握用定积分表示和计算一些简单的几何量与物理量（如面积、弧长、体积、功、重心等）。5．了解定积分的近似计算。空间解析几何与矢量代数1．理解空间直角坐标系，掌握两点间距离公式。2．理解矢量的概念及其表示，掌握矢量的运算，了解两矢量垂直、平行的条件。3．理解单位矢量、方向数和方向余弦，矢量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行矢量运算的方法。4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的位置关系解决有关问题。5．理解曲面方程的概念，了解常用的二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及特殊的柱面方程。6．了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解坐标轴的平移变换。多元函数微分学1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2．了解二元函数的极限与连续的概念及有界闭区域上连续的性质。3．理解多元函数偏导数和显微分的概念，掌握求显微分的偏导数，了解显微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶显微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。4．理解方向导数概念并掌握其求法。5．掌握多元复合函数偏导数的求法，会求隐函数的偏导数。6．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，并会求它们的方程。7．了解二元函数的二阶泰勒公式。8．理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用Lagrange乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最值，并会解决一些简单的实际问题。重积分1．理解二重、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的几何意义。2．掌握二重积分（直面坐标、极坐标系）的计算方法，并会计算三重积分（直面坐标、柱面坐标、球面坐标）。3．会用重积分的表示和计算一些几何量（面积、体积、曲面面积）与物理量（如质量、转动惯量、重心等）。曲线积分、曲面积分1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两者的联系。2．掌握两类曲线积分的计算方法，掌握格林公式，并会应用平面曲线积分与路径无关的条件，会求显微分的原函数。3．了解两类曲面积分的概念、性质及两者之间的联系。4．掌握两类曲面积分的计算方法，了解高斯公式，斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。5．理解梯度的概念及会计算，了解散度、旋度的概念并会算。6．会用曲线积分和曲面积分表示和计算一些几何量与物理量。级数1．理解数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握收敛级数的基本性质及收敛的必要条件。2．掌握几何级数与P-级数收敛与发散的条件。3．掌握正项级数的比较判别法与比值法，会用根式法。4．掌握交错级数的莱布尼兹判别法。5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及两者的关系。6．了解函数项级数的收敛域及和函数概念，*了解一致收敛级数和函数和性质。7．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8．了解幂级数和函数的性质，并会求一些幂级数的和函数并会由此求出一些数项级数的和。9．了解函数展为泰勒级数的充要条件。10．掌握ex，sinx(cosx)，ln(1+x)和(1+x)α的麦克劳林展开式，会用间接法将一些简单函数展为幂级数。11．了解幂级数在近似计算上简单应用。12．了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的具体方法及狄利克雷定理。13．会将广义在[-l,l]上的函数展为傅里叶级数，会将广义在[o,l]上函数展开为正弦或余弦级数，并会写出傅里叶级数的和的表达式。14．了解傅里叶级数的复数形式。广义积分与含参变量积分1．了解无穷积分和瑕积分的概念、性质并会计算。2．了解无穷积分与瑕积分的联系。3．了解广义积分收敛的判别法。4．了解Γ-函数，B-函数的概念、性质、联系。5．了解含参量积分的概念及其性质。*微分方程理论1．了解一阶微分方程解的存在与唯一性定理及其代换法。2．了解高阶微分方程的概念，会用代换法求几类特殊高阶方程的通解。3．了解n阶线性算子，了解n阶线性方程的通解结构，会用常数变易法求二阶线性方程的通解。4．会用特征方程求解n阶常系数线性齐次微分方程通解，会用待定系数法求解自由项Ф(x)为多项式，指数函数，正弦的情况。5．了解标准方程组和首次积分的概念，会求特殊情况的首次积分。6．了解线性方程组的解的结构，会求包含两个未知函数的一阶常系数线性方程组的通解。7．了解微分方程的幂级数和数值解法，会解欧拉方程。8．会用微分方程解决一些简单的实际问题。9．了解偏微分方程的概念，一阶线性及拟线性偏微分方程的概念及其求法。10．了解法夫方程与一阶相容偏微分方程组。11．了解一阶非线性偏微分方程和简单方程的求解。