高等数学复习(文科)修改版

惠州学院数学系公共数学教研室2015-2016学年下学期高等数学复习一、题型与分值二、章节分布三、考点复习一、题型与分值每题分值题数分值选择题3515填空题3824计算题6742应用题6212证明题717二、章节分布章节内容占比第5章定积分第6章定积分的元素法及其应用约30%第7章向量代数与空间解析几何约6%第8章多元函数微分法及其应用约35%第9章重积分约20%第12章微分方程约9%三、考点复习1.积分上限的函数的导数d,.xaxfttaxb积分上限的函数积分上限的函数具有下面的重要性质dddxaxfttfxx2031dtxetx解:0lim()xFx例设F(x)=,求。22032000dlim()limlim3txxxxxeteFxxx=负无穷分子趋向-1，分母趋向0.相除得负无穷1)当,即区间换为，时],[仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即配元不换限说明:2.定积分的换元法例计算350sinsind.xxx解:35()sinsinfxxx32scosinxx350sinsinxxdx320ossincxxdx2320ssincoxdxx322sin(cos)xxxd3202sinsinxxd322sinsinxxd20522sin5x2522sin5x.54例设()fx是[0,1]上的连续函数，试证：2200(sin)d(cos)dfxxfxx.证作变量代换2xt，则0202(sin)d(sin())d22fxxftt0202=(cos))d=(cos))dfttfxx证:(1)若aaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)((2)若0d)(aaxxf则xxfad)(0xxfad)(0ttfad)(0xxfad)(0xxfxfad])()([0时)()(xfxf时)()(xfxf偶倍奇零tx令例3.定积分的分部积分法定理,],[)(,)(1baCxvxu设则ab例计算2e1e|ln|dxxx.答案为:42133244ee4.计算无穷限的广义积分)(xF)()(aFF引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:解:arctanx)2(2例计算广义积分limarctanlimarctanxxxx5.求平面图形的面积由曲线()xy，直线yc，yd及y轴所围成的曲边梯形的面积S(如下图所示)可表示为|()|ddcSyy.例计算抛物线xy22与直线4xy所围成的图形面积.解解方程组,,yxyx224得这两条曲线的交点(8,4)A和(2,2)B.dyAyyyyy242432242141826故所求的面积为6.两向量的数量积定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).ba的与为baba,b2.性质为两个非零向量,则有aa)1(ba,)2(0ba数量积的坐标表示设则zzyyxxbababa,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba7.特殊平面的方程平面的一般方程)0(222CBA特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0表示平面平行于x轴;•Cz+D=0表示平行于xoy面的平面。解:因平面通过z轴,故C=D=0，设所求平面方程为0AxBy代入已知点(6,3,2)得6A-3B=0，故所求平面方程x+2y=0即，求通过z轴和点(6,–3,2)的平面方程.例2BA8.开集与闭集若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx开集0),(yxyx41),(22yxyx闭集9.二元函数的定义域我们这里指的是二元函数的自然定义域，即使得函数数表达式有意义的所有点的集合（点集）。9.二元函数的定义域我们这里指的是二元函数的自然定义域，即使得函数数表达式有意义的所有点的集合（点集）。例如要求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf因需013222yxyx22242yxyx故所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD10.求多元函数的极限二元函数的极限运算法则与一元函数类似．22)(0,042lim.xyxyxy（，）例求解答参考课本例题。11.证明多元函数的极限不存在若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于,),(000时yxP不存在.函数242(,)xyfxyxy在点(0,0)的极限.例.讨论函数当点),(yxP沿着y=kx2趋于(0,0)时，极限与k相关。提示：12.计算二元函数的全微分.若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，则该函数在该点偏导数必存在,且有定理(可微必要条件2)的全微分.例计算函数13.复合函数的二阶偏导数设所涉及函数具有二阶连续偏导数，zvuxyy若函数复合结构关系图如右图，则xzyzxuuzxvvzyuuzyvvz链式法则2.zxy，求例已知14.隐函数的求导公式若函数),,(zyxF的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并且有定一个单值连续函数z=f(x,y),满足0),,(000zyxF0),,(000zyxFz①在点满足:②③某一邻域内可唯一确隐函数存在定理2求导公式,04222zzyx解.zy求例设令，则222(,,)4Fxyzxyzz224yzFzyyFz15.直角坐标系下计算二重积分解题步骤：（1）画出积分区域D（2）D即可看成X型，或看成Y型（3）化成二次定积分计算bxaxyxyxD)()(),(21(,)dDfxyyyxfxxd),()()(21baxd考虑X–型区域(先积一条线,再积扫一遍)xy211xyo2例计算DyxId其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解.将D看作X–型区域,则D：I21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyxy1xxy121x16.直角坐标系下改变二重积分积分次序解题步骤：（1）利用已给积分限，画出积分区域D（2）依D确定另一种积分次序16.直角坐标系下改变二重积分积分次序解题步骤：（1）利用已给积分限，画出积分区域D（2）依D确定另一种积分次序例.改换4d(,)d102xxfxyyx的积分次序。16.直角坐标系下改变二重积分积分次序解题步骤：（1）利用已给积分限，画出积分区域D（2）依D确定另一种积分次序例.改换4d(,)d102xxfxyyx的积分次序。解:积分域可表示为:画D的图形改为先对x再对y的积分4d(,)d102xxfxyyxyx0Dxy21xy241,04.2xyxx2220d(,)dyyyfxyx17.极坐标系下计算二重积分)()(21d)sin,cos(rrrrf,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d设Do)(1r)(2rDyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(特别地,对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD例计算二重积分22()ddDxyxy，其中D是半圆域：2211,0xyy．解：222()dddd,DDxyxyrrrπ2cos3200ddrr4204cosd3=π418.利用二重积分计算立体体积设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21则曲顶柱体体积为(,)dDVfxy顶为z=f(x,y))(1xyzxyoab0xD)(2xy(,)zfxy例求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVDcos2022d4arrra)322(3323aoxyza219.变量分离方程的通解解法:xxfyygd)(d)(两边积分,得xxfd)(则有分离变量形如()d()dpxxqyy（1）的方程，称为变量已分离方程，其中()px，()qy是已知连续函数．隐式通解例.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxy即1CeC令(C为任意常数)20.一阶线性微分方程的特解一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy用常数变易法，可得方程的通解CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(1,0)ln(lnexydxxyxdyxxyxxy1ln1Cdxexeyxxdxxxdxlnln1解：将方程化为,ln21ln112lnlnlnlnCxxCdxexexx代入初始条件得21c故所求特解为).ln1(ln21xxy例求下列满足初始条件的特解方程于是