高考一轮复习矩阵与变换

【2015年高考会这样考】1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质．2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题．【复习指导】1．认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算．2．掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去理解和把握矩阵的几种变换．3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组．基础梳理1．乘法规则(1)行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21的乘法规则：[a11a12]b11b21＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二阶矩阵a11a21a12a22与列向量x0y0的乘法规则：a11a21a12a22x0y0＝a11×x0＋a12×y0a21×x0＋a22×y0.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a21a12a22b11b21b12b22＝a11×b11＋a12×b21a21×b11＋a22×b21a11×b12＋a12×b22a21×b12＋a22×b22(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．2．常见的平面变换恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换．3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．双基自测1．(2011·南通调研测试)曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝1021的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．解设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，则1021x′y′＝xy，即x＝x′＋2y′，y＝y′⇒x′＝x－2y，y′＝y.因为P′是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x－2y)2＋2y2＝1.2．已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是11，求矩阵A.解设A＝acbd，由acbd10＝23，得a＝2，c＝3.由acbd11＝311＝33，得a＋b＝3，c＋d＝3.所以b＝1，d＝0.所以A＝2310.3．(2011·苏州调研测试)已知圆C：x2＋y2＝1在矩阵形A＝a00b(a＞0，b＞0)对应的变换作用下变为椭圆x29＋y24＝1，求a，b的值．解设P(x，y)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P′(x′，y′)，则x′y′＝a00bxy，即x′＝ax，y′＝by.又因为点P′(x′，y′)在椭圆x29＋y24＝1上，所以a2x29＋b2y24＝1.由已知条件可知，x2＋y2＝1，所以a2＝9，b2＝4.因为a＞0，b＞0，所以a＝3，b＝2.4．(2011·南京市模拟)已知a＝21为矩阵A＝1－1a4属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2.解由条件可知1－1a421＝λ21，所以2＋a＝2λ，－2＋4＝λ，解得a＝λ＝2.因此A＝1－124.所以A2＝1－1241－124＝－1－51014.考向一矩阵与变换【例1】►求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝1002，N＝1－101.[审题视点]先求积MN，再求变换公式．解MN＝10021－101＝1－202.设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P(x，y)，则xy＝1－202x′y′＝x′－2x′＋2y′，于是x′＝x，y′＝x＋y2，代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1.所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.【训练1】四边形ABCD和四边形A′B′C′D′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A(－1,2)，B(3,2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1,0)，B′(3,8)，C′(3,4)，D′(－1，－4)，求将四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′的变换矩阵M.解该变换为切变变换，设矩阵M为1k01，则1k01－12＝－10.所以－k＋2＝0，解得k＝2.所以M为1201.考向二矩阵的乘法与逆矩阵【例2】►已知矩阵A＝1002，B＝0－110，求(AB)－1.[审题视点]求矩阵A＝abcd的逆矩阵，一般是设A－1＝xyzw，由abcdxyzw＝1001求得．解AB＝10020－110＝0－120.设(AB)－1＝abcd，则由(AB)·(AB)－1＝1001，得0－120abcd＝1001，即－c－d2a2b＝1001，所以－c＝1，－d＝0，2a＝0，2b＝1，解得a＝0，b＝12，c＝－1，d＝0.故(AB)－1＝012－10.【训练2】已知矩阵A＝1021，B＝1301，求矩阵AB的逆矩阵．解设矩阵A的逆矩阵为A－1＝acbd，则1021acbd＝a2a＋bc2c＋d＝1001，解之得，a＝1，b＝－2，c＝0，d＝1，所以A－1＝10－21.同理得，B－1＝1－301.又(AB)－1＝B－1A－1，所以(AB)－1＝1－30110－21＝7－3－21.考向三矩阵的特征值与特征向量【例3】►已知矩阵M＝2a21，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)，求：(1)实数a的值；(2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[审题视点]f(λ)＝λ－2－2－3λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6.解(1)由2a211－2＝－40，所以2－2a＝－4.所以a＝3.(2)由(1)知M＝2321，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.当λ＝－1时，λ－2x－3y＝0，－2x＋λ－1y＝0⇒x＋y＝0.所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为1－1.当λ＝4时，λ－2x－3y＝0，－2x＋λ－1y＝0⇒2x－3y＝0.所以矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为32.【训练3】已知二阶矩阵A＝abcd，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝32，求矩阵A.解由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1，即abcd1－1＝－1×1－1，得a－b＝－1，c－d＝1.同理可得3a＋2b＝12，3c＋2d＝8.解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩阵A＝2321.矩阵的有关问题及其求解方法矩阵与变换是理科附加题的选考题，题型主要有矩阵与变换、矩阵的乘积与逆矩阵，求矩阵的特征值与特征向量．熟悉变换问题的解题，掌握矩阵乘法法则和求矩阵特征值与特征向量的方法，会用待定系数法求逆矩阵．【示例】►(本题满分10分)(2011·福建)设矩阵M＝a00b(其中a＞0，b＞0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求a，b的值．用待定系数法求逆矩阵．[解答示范](1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝x1y1x2y2，则MM－1＝1001.又M＝2003，所以2003x1y1x2y2＝1001，所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝12，y1＝0，x2＝0，y2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝120013.(5分)(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则a00bxy＝x′y′，即ax＝x′，by＝y′，又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a2x24＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1，又a＞0，b＞0，所以a＝2，b＝1.(10分)【试一试】(2011·江苏)已知矩阵A＝1121，向量β＝12，求向量α，使得A2α＝β.[尝试解答]设α＝xy，由A2α＝β，得3243xy＝12，即3x＋2y＝1，4x＋3y＝2，解得x＝－1，y＝2.故α＝－12.