高考函数综合题

第二十二题（函数综合题）——不怕繁杂的代数推理题20.1、不等式证明常用方法：(1)比较法：①作差比较：0ABAB≤≤步骤：a.作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.b.变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.c.判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.【注意】：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.②求商比较法：要证ab，且b0，只要证1ab.(2)综合分析法：由因导果，执果索因；要证……，只需证……，只需证……(3)利用基本不等式(柯西不等式)(4)反证法：对于“至多”“至少”问题、存在性问题、否定形式的命题等，总之“正难则反”(5)放缩法：1.定义：指若直接证明不等式较困难，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小，而达到证明不等式成立的一种方法.即证明AB，可构造出函数式C，使AC，且CB，其中数学式C，常通过将A放大，或将B缩小而构成.2.放缩法证明不等式的依据：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子异分母（或同分母异分子）的两个分式大小的比较等；3.放缩法的实质是非等价转化，放缩没有确定的准则和程序，放缩目的性很强，需按题意适当放缩.即通过放缩将复杂的一边化简，凑出另一边的形式.4.放缩法的一些操作技巧：①添加或舍去一些项，如：aa12；(1)nnn；②将分子或分母放大（或缩小）1111212321nnnnnnnn≤≤；③利用基本不等式，如：2lg3lg5log3lg5()lg15lg16lg42；(1)(1)2nnnn；④利用常用结论：i、111112kkkkkkk；ii、21111111(1)1(1)1kkkkkkkkk（程度大）；22111111()1(1)(1)211kkkkkk（程度小）；iii、111122121nnnnnnnn；0,00abmn,，则1bmbbmanaamaambnb.【特例】：12342345，2122221nnnn等.可推知：223222221114(11)11()(1)1(1)()1111kkkkkkkkkkkkk5.放缩法的常见题型：①一边为无限项的和或积，另一边为定值；②在证明涉及求和的不等式时，通过逐项放缩的手段，一方面放缩，另一方面使放缩之后便于求和，以达到求和目的；③恰当引入辅助函数，通过函数单调性达到放缩目的；④对涉及正整数n的不等式，可以先考虑用数学归纳法进行整体放缩；⑤运用公式性质，函数单调性；⑥运用绝对值不等式；⑦运用二项式定理，利用三角有界性放缩，利用三角形的三边关系进行放缩；⑧舍弃或添加一些项进行放缩.将部分项放缩，或每项放缩；⑨裂项利用一些熟悉的关系式放缩；6.放缩尺度：放缩法证明不等式，需要根据不等式两端的特点及已知特点，谨慎的采取措施，进行适当的放缩，任何不适宜都会导致推证的失败，也就是运用放缩法证明不等式要把握放缩的尺度；放缩法是一种证题技巧，要想用好证题，必须有明确的目标.目标可以从要证明的结论中考查，即要认真的分析结论特点，由结论的特点探究解题规律；放缩尺度：放缩到可裂项，放缩到可用公式，……(6)利用函数的单调性（本质仍然是放缩法，与换元法、最值法紧密联系）(7)换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：已知222xaybr+=，可设cos,sinxarybr；已知221xy≤，可设cos,sinxryr(01r≤≤)；已知22221xyab，可设cos,sinxayb；已知22221xyab，可设sec,tanxayb；(8)最值法，如：()afx最大值，则()afx恒成立.()afx最小值，则()afx恒成立.(9)构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；具体运用：是构造斜率、点到直线距离、两点间距离、直线与圆的位置关系、辅助圆等.(10)数学归纳法：数学归纳法证题的步骤：①即先验证使结论有意义的最小的正整数0n，即当0nn时，命题成立；②假设当nk(*kN，k≥0n)时，命题成立.根据这个假设，推出当1nk时，命题也成立；③由①②可知命题得证。以上三个步骤缺一不可。④用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式（或不等式）时，关键在于“先看项”，弄清式子的构成规律，等式（或不等式）的两边各有多少项？项的多少与n的取值是否有关？由nk到1nk时，等式的两边会增加多少项？增加怎样的项？20.2、三个“二次”1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆二次函数的基本性质(1)二次函数的表示法：y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)当a0,f(x)在区间［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0=21(p+q)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆若－ab2p,则f(p)=m,f(q)=M;若p≤－ab2x0,则f(－ab2)=m,f(q)=M;若x0≤－ab2q,则f(p)=M,f(－ab2)=m;若－ab2≥q,则f(p)=M,f(q)=m新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r0)(,2,042rfarabacb(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根;0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacb(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(pq)0)(0)(qfapfa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)a0且f(α)=f(β)=0;(2)当a0时，f(α)f(β)|α+ab2||β+ab2|,当a0时，f(α)f(β)|α+ab2||β+ab2|;(3)当a0时，二次不等式f(x)0在［p,q］恒成立,0)(,2pfpab或;0)(;2,0)2(,2qfpababfqabp或(4)f(x)0恒成立.00,0,00)(;0,0,0,0cbaaxfcbaa或恒成立或20.3、闭区间上的二次函数的最值二次函数2()(0)fxaxbxca在闭区间,pq上的最值只能在2bxa处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a0时，若,2bxpqa，则minmaxmax()(),()(),()2bfxffxfpfqa；若,2bxpqa，则maxmax()(),()fxfpfq，minmin()(),()fxfpfq.(2)当a0时，若,2bxpqa，则min()min(),()fxfpfq，若,2bxpqa，则max()max(),()fxfpfq，min()min(),()fxfpfq.20.4、一元二次方程的实根分布若()()0fmfn，则方程()0fx在区间(,)mn内至少有一个实根.设2()fxxpxq，则（1）方程()0fx在区间(,)m内有根的充要条件:()0fm或2402pqpm≥；（2）方程()0fx在区间(,)mn内有根的充要条件:()()0fmfn或2()0()0402fmfnpqpmn≥，或()0()0fmafn，或()0()0fnafm；（3）方程()0fx在区间(,)n内有根的充要条件:()0fm，或2402pqpm≥.20.5、定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式(,)0fxt≥(t为参数)恒成立的充要条件是min(,)0()fxtxL≥.(2)在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0fxt≥(t为参数)恒成立的充要条件是(,)0()manfxtxL≤.(3)0)(24cbxaxxf恒成立的充要条件是000abc≥≥，或2040abac.20.6、恒成立问题的基本类型及处理思路1、利用一次函数的性质类型1：对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有：()0fx恒成立(ⅰ)0)(0mfa，或(ⅱ)0)(0nfa；亦可合并定成0)(0)(nfmf；()0()0()0fmfxfn恒成立2、利用一元二次函数的判别式类型2：设)0()(2acbxaxxf（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a.类型3：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立222()00()0bbbaaaff≤≤或或，],[0)(