高考抽象函数问题复习解法(教师版)

1高考抽象函数问题复习解法(学生版)巅峰教育：蒋越界（18585870889）由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()fx的问题感到困难一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出()fx，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知()211xfxx,求()fx.2.凑配法：在已知(())()fgxhx的条件下，把()hx并凑成以()gu表示的代数式，再利用代换即可求()fx.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知3311()fxxxx，求()fx3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知()fx二次实函数，且2(1)(1)fxfxx+2x+4,求()fx.4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y=()fx为奇函数,当x0时,()lg(1)fxx,求()fx例5．一已知()fx为偶函数，()gx为奇函数，且有()fx+1()1gxx，求()fx,()gx.5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。例6.已知1()+2()1fxfxx，求()fx的表达式例7：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当2,0x时，f(x)=－2x+1，则当4,6x时求f(x)的解析式2函数解析式训练(注意：求出函数解析式时一定要注明定义域)一.待定系数法1.已知函数()fx是一次函数，且满足关系式3(1)2(1)217fxfxx，求()fx的解析式。2.已知二次函数()fx与x轴的两交点为2,0，3,0，且(0)3f，求()fx3.已知()fx是一次函数，且[x]9x8ff（）＝＋，求()fx4.已知二次函数()fx满足：2(1)(1)24fxfxxx求()fx二.换元法1.已知2()1fxx，求2()fxx2、已知(1)2fxxx，求()fx，(1)fx。3、已知22(1)34fxxx，求()fx；三.凑配法：31、已知2111()xxfxxx，求()fx2、已知2211()3fxxxx，求()fx3.已知3311()fxxxx，求()fx4.已知3232112()23gxxxxxx求()gx四.解方程组法13.已知()fx满足12()()3fxfxx，求()fx．14.设函数()fx是定义(－∞，0)∪(0，+∞)在上的函数，且满足关系式xxfxf4)1(2)(3，求()fx的解析式.15.()fx满足：()2()32fxfxx，求()fx416.()fx满足：12()()1fxfxx求()fx五.利用函数性质法:1、已知：(0)1f，对于任意实数,xy，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求()fx2、已知21,0(),0xfxxxx，求(1)fx3、若函数xxxf2)12(2，则)3(f=.4、根据函数图象求函数的解析式二、求值问题5例1:已知定义域为R的函数()fx，同时满足下列条件：①1(2)1,(6)5ff；②(.)().()fxyfxfy，求(3),(9)ff的值。例2：f(x)是R上的奇函数f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007)的值例3：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值三、定义域问题例1.已知函数2()fx的定义域是［1，2］，求()fx的定义域。例2:已知函数()fx的定义域是[1,2]，求函数(3)12[]logxf的定义域。四、值域问题例1:设函数()fx定义于实数集上，对于任意实数,xy，()()()fxyfxfy总成立，且存在12xx，使得12()()fxfx，求函数()fx的值域。五、函数的单调性问题6[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.例1.设()fx定义于实数集上，当0x时，()1fx，且对于任意实数,xy有()()()fxyfxfy，求证：()fx在R上为增函数。例2：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当2,0x时，f(x)是减函数，求证:当4,6x时f(x)为增函数六、判断函数的奇偶性：1．函数奇偶性的定义设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于任意的x∈A都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝0.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．3.判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性例1:已知()()2()()fxyfxyfxfy,对一切实数x、y都成立，且(0)0f,求证()fx为偶函数。例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1()fx，f(999+x)=f(999－x)，7试判断函数f(x)的奇偶性.例3.设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a的取值范围.例4.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值范围为____例5:函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－12)]0的解集．例6:已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.例7:定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则下列说法中正确的是________(填序号)．①在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数；②在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数；③在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数；④在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数．例8:函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）8例1：奇函数()fx在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围。八、对称性问题(1)设,ab均为常数，函数()yfx对一切实数x都满足()()2faxfaxb函数()yfx的图象关于点(,)ab成中心对称图形。(2)设,ab均为常数，函数()yfx对一切实数x都满足()()0faxfbx函数()yfx的图象关于点(,0)2ab成中心对称图形。(3)设,ab均为常数，函数()yfx对一切实数x都满足()()faxfbx函数()yfx的图象关于轴2abx对称。例1：如果()fx=2axbxc对任意的t有(2)2)ftft,比较(1)(2)(4)fff、、的大小九、周期问题命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)函数y=f(x)满足f(x+a)=1()fx，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(ab)是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.9(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.设条件A:定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B:f(x)关于x=a对称条件C:f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论:已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明:①已知A、B→C（2001年全国高考第22题第二问）∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)关于x=a对称③已知C、B→A10∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x)∴f(x)是R上的偶函数由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f(2T)=0基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.例1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)1，f(2)＝2m－3m＋1，则m的取值范围为________________．例2．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2010)的值为________．例3．已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x